动态规划-最大子段和

算法思想：动态规划
实际问题：最大子段和
编写语言：Java

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前言

最大子段和有多种解法，暴力破解法是最简单的，但时间复杂度较高，最少需要 O(n^2)，未改进的算法为 O(n^3)；而且暴力破解这种思路对学习算法是没有帮助的。因此个人并未实现。仅对分治法和动态规划两种思路进行了实现。分治法的解决思路详见分治法-最大子段和，分治法解决最大子段和问题需要的时间复杂度为 O(nlogn)，而本篇博文是采用动态规划的思路，动态规划解决最大子段和问题需要的时间复杂度为 O(n)。是最好的一种解决办法。

问题描述

给定n个整数（可能为负数）组成的序列 a[1],a[2],a[3],…,a[n], 求该序列如 a[i]+a[i+1]+…+a[j] 的子段和的最大值。当所给的整数均为负数时定义子段和为0，依此定义，所求的最优值为： Max{0,a[i]+a[i+1]+…+a[j]}, 1<=i<=j<=n 例如，当（a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6]）=(-2,11,-4,13,-5,-2) 时，最大子段和为20。

递归结构

设 b[j] 存储的是 A[i:j] 的最大字段和，其中 1 <= i <= j，再定义一个 sum 存储最终结果，那么：

1. 当 b[j - 1] <= 0，b[j] = a[j]，即当目前子序列 A[i:j - 1] 的和为负数时，给和不停的赋新值，直到和为正。
2. 当 b[j - 1] > 0，b[j] = b[j - 1] + a[j]，即当目前子序列 A[i:j - 1] 的和为正时，加上子序列中的下一个数，得到一个新的和 b[j]。
3. 将 b[j] 和 sum 比较，若 b[j] > sum，那么给 sum 赋新值 b[j]；若 b[j] < sum，俺么保持 sum 值不变。通过这种方式来保持 sum 为子序列的最大值。

Java代码

public class MaxSubsequenceSum
{
    public static void main(String[] args)
    {
        int[] a = new int[]{-2, 11, -4, 13, -5, -2};
        int result = maxSubSum(a);
        System.out.println("maxSubSum(a) = " + result);
    }
    
    public static int maxSubSum(int[] a)
    {
        int sum = 0, b = 0;
        for(int i = 0; i < a.length; i++)
        {
            if(b > 0)
                b += a[i];
            //当 b <= 0 时，不断赋新值，相当于跳过了负数
            else
                b = a[i];
            if(b > sum)
                sum = b;
        }
        return sum;
    }
}

运行结果