2019多校第九场 HDU6681 Rikka with Cake（欧拉图论定理，线段树）

链接：HDU6681 Rikka with Cake

题意：

给出一个笛卡尔坐标系中左下角坐标为 $(0,0)$，右上角坐标为 $(n,m)$的矩形，有 $K\;(\le 10^5)$条射线，起点在矩形内部，其坐标为 $(x_i,y_i)$，方向为上/下/左/右（ $U/D/L/R)$，且 $\forall i\neq j,\;x_i\neq x_j\land y_i\neq y_j$。（ $n,m,K,x_i,y_i\in N^*$）

问矩形一共被分成多少块？

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分析：

欧拉图论定理：

如果一个 联通平面图 $G$ 有 $V$个顶点、 $E$条边、 $F$个面，那么
$V-E+F=2$

①顶点个数 $V$：

• 矩阵原顶点： $4$个
• 矩阵边界与射线交点： $K$个
• 射线起点： $K$个
• 射线之间的交点： $c$个

$V=4+2K+c$

②边数 $E$（即线段个数）：

一条线段每多一个交点，就会被多分割出一条线段。

• 矩形边界上线段个数： $4+K$
• 射线上线段个数： $K+2c$（每个交点都同时存在于 $2$条射线上）

$E=4+2K+2c$

所以根据公式： $V-E+F=2$，可以得到平面内总分块数 $F=c+2$，除去矩形外的无穷大区块，得到 $ans=c+1$。

于是问题就转化成了求射线的交点个数 $c$，离散化后用线段树/树状数组求解即可。

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以下代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+50;
int n,m,K;
int X[maxn],Y[maxn];
struct ray
{
    int x,y;
    char dir;
}r[maxn];
bool cmp(const ray &a,const ray &b)
{
    return a.x<b.x;
}
void init()
{
    sort(X+1,X+K+1);
    sort(Y+1,Y+K+1);
    for(int i=1;i<=K;i++)
    {
        r[i].x=lower_bound(X+1,X+K+1,r[i].x)-X;
        r[i].y=lower_bound(Y+1,Y+K+1,r[i].y)-Y;
    }
}
int t[maxn<<2];
void updata(int rt,int l,int r,int val)
{
    if(l==r)
    {
        t[rt]++;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(val<=mid)
        updata(rt<<1,l,mid,val);
    else
        updata(rt<<1|1,mid+1,r,val);
    t[rt]=t[rt<<1]+t[rt<<1|1];
}
int query(int rt,int l,int r,int ql,int qr)
{
    if(ql<=l&&r<=qr)
        return t[rt];
    int res=0;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(ql<=mid)
        res+=query(rt<<1,l,mid,ql,qr);
    if(qr>mid)
        res+=query(rt<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
    return res;
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d %d %d",&n,&m,&K);
        for(int i=1;i<=K;i++)
        {
            scanf("%d %d",&r[i].x,&r[i].y);
            getchar();
            r[i].dir=getchar();
            X[i]=r[i].x;
            Y[i]=r[i].y;
        }
        init();
        sort(r+1,r+K+1,cmp);
        int ans=0;
        memset(t,0,sizeof(t));
        for(int i=1;i<=K;i++)
        {
            int x=r[i].x,y=r[i].y;
            if(r[i].dir=='R')
                updata(1,1,K,y);
            else if(r[i].dir=='U')
                ans+=query(1,1,K,y,K);
            else if(r[i].dir=='D')
                ans+=query(1,1,K,1,y);
        }
        memset(t,0,sizeof(t));
        for(int i=K;i>=1;i--)
        {
            int x=r[i].x,y=r[i].y;
            if(r[i].dir=='L')
                updata(1,1,K,y);
            else if(r[i].dir=='U')
                ans+=query(1,1,K,y,K);
            else if(r[i].dir=='D')
                ans+=query(1,1,K,1,y);
        }
        printf("%d\n",ans+1);
    }
    return 0;
}