第39台阶---算法集

问题描述
如果我每一步迈上 1 个或两个台阶，先迈左脚，然后左右交换，最后一步迈右脚，也就是一共要走偶数步，那么，上完 39 级台阶，有多少种不同的算法？
思路一（递归）
不管走的是左脚还是右脚，只要走的步数是偶数即可，递归的思想
39,0
38,1 37,1
37,2 36,2 36,2 35,2
… … … … … … … …
输出：Total=51167078 请等待几秒

• 从顶部算起

#include<iostream>
using namespace std;

int total=0;//计数
int sum(int num,int step)
{
	if(num<0)
	   return 0;
	if(num==0&&step%2==0)//不管走的是左脚还是右脚，只要走的步数是偶数即可。
	   {
	   	total++;
	   	return 0;
	   }
	sum(num-1,step+1);
	sum(num-2,step+1);
}
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	sum(n,0);//从顶部算起 
	cout<<total<<endl;
	return 0;
}	

• 从底部算起

#include<iostream>
using namespace std;

int total=0;
int sum(int num,int step)
{
	if(num>39)
	   return 0;
	if(num==39&&step%2==0)
	   {
	   	total++;
	   	return 0;
	   }
	sum(num+1,step+1);
	sum(num+2,step+1);
}
int main()
{
	sum(0,0);//从底部算起 
	cout<<total<<endl;
	return 0;
}	

思路二（非递归）

#include<iostream>
using namespace std;

long fact(int m,int n)
{
	int i;
	double a,b,c;//因为阶乘数m,n稍大，阶乘结果变大。 
	a=b=c=1;
	for(i=m+n;i>0;i--)
	    a*=i;
	for(i=m;i>0;i--)
	    b*=i;
	for(i=n;i>0;i--)
	    c*=i;
	return a/(b*c);
}

int main()
{
	int i,j;
	long sum=0;
	for(i=1;i<=37;i++)
	    for(j=1;j<=19;j++)
	    {
	    	if((i+j)%2==0&&(i+2*j)==39)//满足两只脚走的总的歩数为偶数且走的阶梯数总和为39 
	    	{ 
	    		sum+=fact(i,j);//求总的组合数 
	    		cout<<i<<j<<endl;//输出两只脚的种类数 
	    	}
	    }
	cout<<sum<<endl;
	return 0;
}

一般采用递归的思想，非递归的想法需要很强的数学功底，不然难以解决。
递归是解决问题的一个捷径，就是算法复杂度较高。