【Lintcode】125. Backpack II

题目地址：

http://www.lintcode.com/problem/backpack-ii/description

0-1背包问题， $A$表示物品体积， $V$表示物品价值。用动态规划。设 $f[i][j]$是前 $i$个物品里取出若干总重量不超过 $j$的物品的价值最大值。这个最大值有两种可能，要么包含物品 $i$，此时最大值是 $f[i-1][j-A[i]]+V[i]$；要么不包含物品 $i$，此时最大值是 $f[i-1][j]$。比较一下这两个最大值取大者，就是 $f[i][j]$。从上面的式子看出，更新顺序是， $i$从小到大， $j$也是从小到大。代码如下：

public class Solution {
    /**
     * @param m: An integer m denotes the size of a backpack
     * @param A: Given n items with size A[i]
     * @param V: Given n items with value V[i]
     * @return: The maximum value
     */
    public int backPackII(int m, int[] A, int[] V) {
        // write your code here
        int[][] f = new int[A.length][m + 1];
        
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            f[0][i] = A[0] <= i ? V[0] : 0;
        }
    
        for (int i = 1; i < A.length; i++) {
            for (int j = 0; j <= m; j++) {
                f[i][j] = f[i - 1][j];
                if (j >= A[i]) {
                    f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i - 1][j - A[i]] + V[i]);
                }
            }
        }
        
        return f[A.length - 1][m];
    }
}

时空复杂度 $O(nm)$， $n$是物品数量。

接下来考虑优化空间复杂度。可以看到， $f[i][j]$的值只取决于上一行正上方元素和上一行左边的元素，所以可以按行滚动做空间优化。每一行需要从右向左更新，否则的话更新到 $f[i][j]$的时候， $f[i-1][j-A[i]]$已经被覆盖掉了，这个时候答案已经得不到了。具体代码如下：

import java.util.Arrays;

public class Solution {
    /**
     * @param m: An integer m denotes the size of a backpack
     * @param A: Given n items with size A[i]
     * @param V: Given n items with value V[i]
     * @return: The maximum value
     */
    public int backPackII(int m, int[] A, int[] V) {
        // write your code here
        int[] f = new int[m + 1];
        
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            f[i] = A[0] <= i ? V[0] : 0;
        }
        
        // f[j] The max value of taking the first i items with total volume <= m
        for (int i = 1; i < A.length; i++) {
            for (int j = m; j >= 0; j--) {
                if (j >= A[i]) {
                    f[j] = Math.max(f[j], f[j - A[i]] + V[i]);
                }
            }
        }
        
        return f[m];
    }
}

时间复杂度不变，空间 $O(m)$。