【Lintcode】92. Backpack

题目地址：

https://www.lintcode.com/problem/backpack/description

背包问题。给定一个数组代表每个物品的体积，和一个容积，问最多能塞满多少容积。动态规划。设 $f[i][j]$是前 $i$个物品要塞进容积 $j$，最多能塞多少容积。那么有两种情况：
1、不放第 $i$件物品，那么最多塞的容积是 $f[i-1][j]$；
2、放第 $i$件物品，那么最多塞的容积是 $f[i-1][j-A[i]]+A[i]$。
所以只需要比较这两者谁大即可。代码如下：

public class Solution {
    /**
     * @param m: An integer m denotes the size of a backpack
     * @param A: Given n items with size A[i]
     * @return: The maximum size
     */
    public int backPack(int m, int[] A) {
        // write your code here
        if (A == null || A.length == 0) {
            return 0;
        }
        // dp[i][j]表示从前i个物品拿若干物品塞进容积为j的背包，最多能塞多少体积
        int[][] dp = new int[A.length][m + 1];
        // 初始化第0行
        for (int j = A[0]; j <= m; j++) {
            dp[0][j] = A[0];
        }
    
        for (int i = 1; i < A.length; i++) {
            for (int j = 0; j <= m; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                if (j >= A[i]) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - A[i]] + A[i]);
                }
            }
        }
        
        return dp[A.length - 1][m];
    }
}

时空复杂度 $O(nm)$。

接下来考虑空间优化。注意到每次计算 $dp[i][j]$的时候，只用到了上一行正上方的元素，和上一行的左边的元素。所以考虑以行滚动更新。注意在更新列的时候，需要从右向左更新。

public class Solution {
    /**
     * @param m: An integer m denotes the size of a backpack
     * @param A: Given n items with size A[i]
     * @return: The maximum size
     */
    public int backPack(int m, int[] A) {
        // write your code here
        if (A == null || A.length == 0) {
            return 0;
        }
    
        int[] dp = new int[m + 1];
        for (int j = A[0]; j <= m; j++) {
            dp[j] = A[0];
        }
    
        for (int i = 1; i < A.length; i++) {
            for (int j = m; j >= A[i]; j--) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - A[i]] + A[i]);
            }
        }
    
        return dp[m];
    }
}

时间复杂度不变，空间变为 $O(m)$。