POJ 3903 Stock Exchange 【最长上升子序列】模板题

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题目大意：

裸的DP最长上升子序列，给你一段序列，求其最长上升子序列的长度，n^2的dp朴素算法过不了，这里用的是nlogn的算法，用了二分查找。

具体算法思路解析：

学习动态规划问题（DP问题）中，其中有一个知识点叫最长上升子序列（longest increasing subsequence），也可以叫最长非降序子序列，简称LIS。简单说一下自己的心得。

　　我们都知道，动态规划的一个特点就是当前解可以由上一个阶段的解推出，由此，把我们要求的问题简化成一个更小的子问题。子问题具有相同的求解方式，只不过是规模小了而已。最长上升子序列就符合这一特性。我们要求n个数的最长上升子序列，可以求前n-1个数的最长上升子序列，再跟第n个数进行判断。求前n-1个数的最长上升子序列，可以通过求前n-2个数的最长上升子序列……直到求前1个数的最长上升子序列，此时LIS当然为1。

　　让我们举个例子：求 2 7 1 5 6 4 3 8 9 的最长上升子序列。我们定义d(i) (i∈[1,n])来表示前i个数以A[i]结尾的最长上升子序列长度。

　　前1个数 d(1)=1 子序列为2；

　　前2个数 7前面有2小于7 d(2)=d(1)+1=2 子序列为2 7

　　前3个数在1前面没有比1更小的，1自身组成长度为1的子序列 d(3)=1 子序列为1

　　前4个数 5前面有2小于5 d(4)=d(1)+1=2 子序列为2 5

　　前5个数 6前面有2 5小于6 d(5)=d(4)+1=3 子序列为2 5 6

　　前6个数 4前面有2小于4 d(6)=d(1)+1=2 子序列为2 4

　　前7个数 3前面有2小于3 d(3)=d(1)+1=2 子序列为2 3

　　前8个数 8前面有2 5 6小于8 d(8)=d(5)+1=4 子序列为2 5 6 8

　　前9个数 9前面有2 5 6 8小于9 d(9)=d(8)+1=5 子序列为2 5 6 8 9

　　d(i)=max{d(1),d(2),……,d(i)} 我们可以看出这9个数的LIS为d(9)=5

　　总结一下，d(i)就是找以A[i]结尾的，在A[i]之前的最长上升子序列+1，当A[i]之前没有比A[i]更小的数时，d(i)=1。所有的d(i)里面最大的那个就是最长上升子序列。

#include <cstdio> 
#include <cstring>
const int MAXN = 100100;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int a[MAXN];
int d[MAXN];

int find(int l, int r, int key)
{
    if (l == r)return l;
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (key>d[mid])return find(mid + 1, r, key);
    else return find(1, mid, key);
}

int main()
{
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        memset(d, 0, sizeof(d));
        for (int i = 0; i<n; i++)scanf("%d", &a[i]);
        int len = 0;
        d[0] = -INF;
        for (int i = 0; i<n; i++)
        {
            if (a[i]>d[len])d[++len] = a[i];
            else
            {
                int j = find(1, len, a[i]);             //查找a[i]在d数组中的位置
                d[j] = a[i];                            //然后将其替换
            }
        }
        printf("%d\n", len);
    }
    return 0;
}

2018-04-29

POJ 3903 Stock Exchange 【最长上升子序列】模板题

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