题目链接:https://www.acwing.com/problem/content/898/
给定一个长度为N的数列,求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。
数据范围
1≤N≤100000,
−109≤数列中的数≤109
输入样例:
7
3 1 2 1 8 5 6
输出样例:
4
思路:动态规划+二分O(n * logn)
- 状态表示:q[i]表示长度为i的最长上升子序列,末尾最小的数字。(长度为i的最长上升子序列所有结尾中,结尾最小的) 即长度为i的子序列末尾最小元素是什么。
- 状态计算: 对于每一个a[ i ] , 如果大于q[len - 1] (下标从0开始,len长度的最长上升子序列,末尾最小的数字),那就len+1,使得最长上升序列长度+1,当前末尾最小元素为a[i]。 若a[i]小于等于q[len-1],说明不会更新当前的长度,但之前末尾的最小元素要发生变化,找到第一个 等于 a[i]的数,更新以那时候末尾的最小元素。
- q[i]一定以一个单调递增的数组,所以可以用二分法来找第一个大于或等于q[i]的数字。
代码实现:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
int a[N],q[N]
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
int len = 0;
q[0] = -2e9;
for (int i = 0; i < n; i ++ ){
int l = 0, r = len;
while (l < r) {
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (q[mid] < a[i]) l = mid;
else r = mid - 1;
}
len = max(len, r + 1);
q[r + 1] = a[i];
}
printf("%d\n", len);
return 0;
}