BZOJ2038 小Z的袜子(hose)【莫队算法】

2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

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Description

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

Output

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。
询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。
注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000；
60%的数据中 N,M ≤ 25000；
100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

解法：

暴力的解法去计算出相同颜色的概率时间复杂度是O(n*m)，访问的次数多了，很明显是会TLE的。我们要注意观察，题目并没有要求我们在线查询，因此我们可以采用离线查询的方法，莫队算法毫无疑问是最佳的选择。

我们要查询的区间范围为[l,r]，设这个区间的长度为n，假设袜子是选取完后，又放回的，也就是说一只袜子可以选取两次，那么表示概率的分母就可以表示为：n*n，设这个区间里这种颜色的袜子的总数为sum，选取到这只袜子的概率就为sum*sum/n*n。

当然这不符合题目所要求的，但是我们可以用这种比较简单的方法，先求出可放回的概率，再对分子分母进行操作。

用分子减去区间的总长度，是不是就是减去了自身选取自身的概率：sum*sum-n，分母变成n*(n-1)就是题目所要求的概率了。

好，现在问题来了，怎么使用莫队算法，求取颜色不同袜子分别的总和个数。

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 假设现在left和right的指针在蓝色的方块里，现在所要求的是红色区间，left指针要往右移动一格，那么移动了这一格，所在蓝色格子的数字总数就要-1，我们应该在移动之前，减去之前的状态，再加上移动后的状态。就是现在这个区间的概率。（核心，请一定要理解）

while(left<p[i].left){//left是蓝色方块的区域，p[i].left是红色方块的区域 ,c是存着n个数字(代表袜子)的数组 
	ans -= sum[c[left]]*sum[c[left]];//sum[x]表示x这个数字在这个区间里出现的次数
	sum[c[left]]--;
	ans += sum[c[left]]*sum[c[left]];
	left++;
}

right指针移动也是相同的方法，就不一一赘述了。

而我们移动到[left,right+1][left,right-1][left-1,right][left+1,right]都只需要O(1)的时间。

为了减少指针移动消耗的时间，我们要对区间进行排下序。

假设现在有6个区间(4,6),(2,3),(1,88),(3,74),(5,150),(6,9)。假设我们按照升序排序，得出来的区间就是(1,88),(2,3),(3,74),(4,6),(5,150),(6,9)。假设初始化left和right指针都指向0，那么就要指针就要移动603次，我们有什么方法可以减少指针移动的次数呢，这就要有分块的思想。我们排序并不是按照严格的升序排序。我们取一个数radical = sqrt(n)（在这里n=6），如果不能得出整数，就取整+1，为了方便理解，创建一个block[]。

for(int i=1;i<=n;i++){
	block[i] = (i-1)/radical;
}

来分不同的区域块，块值相等的按照right的大小来排序，块值不相等的按照left大小来排序。

bool cmp(KNIGHT a,KNIGHT b){//KNIGHT是结构体 
	if(block[a.left]==block[b.left])
		return a.right<b.right;
	return a.left<b.left;
}

附上AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 50005
#define ll long long
using namespace std;
struct KNIGHT{
	ll left;
	ll right;
	ll id;
}p[MAXN];
ll c[MAXN],block[MAXN],sum[MAXN];
ll ansa[MAXN],ansb[MAXN];
ll gcd(ll x,ll y){
	if(y!=0)
		return gcd(y,x%y);
	return x;
}
ll cmp(KNIGHT a,KNIGHT b){
	if(block[a.left]==block[b.left])
		return a.right<b.right;
	return a.left<b.left;
}
int main(){
	int n,m;
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
		int radical = sqrt(n)+1;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%lld",&c[i]);
			block[i] = (i-1)/radical;
		}
		for(int i=1;i<=m;i++){
			scanf("%lld%lld",&p[i].left,&p[i].right);
			p[i].id = i;		
		}
		ll left = 1,right = 0;
		sort(p+1,p+m+1,cmp);
		ll temp = 0 ;
		for(int i=1;i<=m;i++){
			while(left<p[i].left){
				temp -= sum[c[left]]*sum[c[left]];
				sum[c[left]]--;
				temp += sum[c[left]]*sum[c[left]];
				left++;
			}
			while(left>p[i].left){
				left--;
				temp -= sum[c[left]]*sum[c[left]];
				sum[c[left]]++;
				temp += sum[c[left]]*sum[c[left]];
			}
			while(right>p[i].right){
				temp -= sum[c[right]]*sum[c[right]];
				sum[c[right]]--;
				temp += sum[c[right]]*sum[c[right]];
				right--;
			}
			while(right<p[i].right){
				right++;
				temp -= sum[c[right]]*sum[c[right]];
				sum[c[right]]++;
				temp += sum[c[right]]*sum[c[right]];
			}
			ll a = temp - (p[i].right-p[i].left+1);
			ll b = (p[i].right-p[i].left+1)*(p[i].right-p[i].left);
			ll tep = gcd(a,b);
			ansa[p[i].id] = a/tep;
			ansb[p[i].id] = b/tep;
		}
		for(int i=1;i<=m;i++){
			printf("%lld/%lld\n",ansa[i],ansb[i]);
		}
	}
}

简化过后的代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MAXN 50005
using namespace std;
struct KNIGHT{
	int left;
	int right;
	int id;
}p[MAXN];

int c[MAXN],block[MAXN];
ll sum[MAXN],ansa[MAXN],ansb[MAXN],temp;

ll gcd(ll x,ll y){
	if(y!=0)
		return gcd(y,x%y);
	return x;
}

int cmp(KNIGHT a,KNIGHT b){
	if(block[a.left]==block[b.left])
		return a.right<b.right;
	return a.left<b.left;
}

void change(int position,int num){
	temp += 2 * sum[c[position]] * num + 1 ;
	sum[c[position]] += num;
}

int main(){
	int n,m;
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
		int radical = sqrt(n)+1;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&c[i]);
			block[i] = (i-1)/radical;
		}
		for(int i=1;i<=m;i++){
			scanf("%d%d",&p[i].left,&p[i].right);
			p[i].id = i;		
		}
		int left = 1,right = 0;
		sort(p+1,p+m+1,cmp);
		temp = 0 ;
		for(int i=1;i<=m;i++){
			while(left<p[i].left){
				change(left++,-1);
			}
			while(left>p[i].left){
				change(--left,1);
			}
			while(right>p[i].right){
				change(right--,-1);
			}
			while(right<p[i].right){
				change(++right,1);
			}
			ll a = temp - (p[i].right-p[i].left+1);
			ll b = (ll)(p[i].right-p[i].left+1)*(p[i].right-p[i].left);
			ll tep = gcd(a,b);
			ansa[p[i].id] = a/tep;
			ansb[p[i].id] = b/tep;
		}
		for(int i=1;i<=m;i++){
			printf("%lld/%lld\n",ansa[i],ansb[i]);
		}
	}
}