预处理共轭梯度法（2）

预处理共轭梯度法（2）

关于预处理矩阵M的选取

1.回顾算法

共轭梯度毒发的基本性质：共轭梯度法生成的剩余向量相互正交，其下降的方向关于A互为共轭

由此，我们可以得出：

2.预处理阵M选取的前提条件

3.一种观点

4.广义共轭梯度法

5.不完全Cholesky分解

回顾在矩阵的三角分解法中的平方根法

定理（Cholesky分解）：如果A为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角矩阵L使 $A = LL^T$ ,当限定L的对角元素为正时，这种分解是唯一的

为了避免开平方，我们也可以使用分解式 $A = LDL^T$

其核心思想在于保证分解后的矩阵的稀疏性，使其易于求解

6.分块不完全Cholesky分解

对分块三对角矩阵A
我们令





对于第二个途径