Numerical Optimization共轭梯度法

$n个p_i$线性无关且共轭，表示为x的基

这样极小化括号的数，转化为n个一维的优化问题
这里求最小值 隐含了 $p_i^TAP_i>0$,所以要求对称正定，即强凸的。

共轭法

搜索步长 $\alpha_k$是通过极小化 $\Phi(x_k+\alpha p_k)$得到的

即对于凸的二次函数，共轭算法的步长是可能精确计算得到的

证明

举例

二维的问题， $\phi(x)$的等高线是椭圆，由于A是对角阵，所以对称轴于行于坐标轴，且e1与e2对于A是共轭
；
当A，不再是对角矩阵时，e1与e2 不再是A的共轭方向
2步之内无法找到问题的解

因此，坐标方向法：当原始问题对应的矩阵A非对角时，我们可以对原问题作线性变化，使得新的newA 是对角的，然后可以使用共轭方向法在n 部内求得最优点。

一般性


第k步生成的残差rk和前面的搜索方向正交
如何生成共轭搜索方向，两种方法：特征向量，和Gram -Schmidt 正交化。对于第一种有对于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，因此可以推出来这些特征向量对于A 是共轭的

共轭梯度法

具体流程


对于 $r_n$和 $r_0\dots r_{n-1}$正交，则可以推出来n维空间中和n个线性无关向量都正交的话，这个向量一定是n向量，即 $A_{x_n}=b$是所求的解。
这些结论是依赖于初始点的选择的，即是在（p0=-ro）



当 $\lambda_{n-k}和\lambda$非常接近时，第 $i$步迭代解非常接近精确 解

共轭梯度法在更新迭代方向时不仅利用了利用了上一步的迭代方向，同时利用了上一步的梯度信息，因此相对于最速下降法更快收敛
当条件数越小，越快，特别是当条件数为1时，其单位矩阵，只需要一步便可以得到最优解

算法回速Pre conditioning

当特征值 分部比较集中时，当分布到1 附近时收敛更快。通过对变量线性变换，转换成具有好的性质，即特征值相对集中


上述的目标还是在解 $\phi(x)=x^TAx-b^Tx$,但是为了加速计算，先对x 作线性变换 $\hat{x}=Cx$,代入上式得到关于 $\hat{x}$的方程，求解出最优的 $\hat{x}$来重构要求的x,
当然可以利用上面的程序直接求出x,是等价的
需要求的 $\phi(x)=x^TAx-b^Tx$
$\hat{\phi}(\hat{x})=\frac{1}{2} \hat{x}^{T}\left(\mathcal{C}^{-T} A C^{-1}\right) \hat{x}-\left(C^{-T} b\right)^{T} \hat{x}\\ 求导：\hat{r_{k}}=\left(\mathcal{C}^{-T} A C^{-1}\right) \hat{x}-\left(C^{-T} b\right)\\ \hat{x}=Cx\\ r_k=A{x_{k}}-b\\ M=C^TC\\ My_k=r_k\\ C^TCy_{k}=r_{k}\\ Cy_{k}=C^{-T}r_k=C^{-T}A{x_{k}}-C^{-T}b=C^{-T}A{C^{-1} x_{k}}-C^{-T}b=\hat{r_{k}}\\ 因此可以看出y_{k}是我们要求的即\phi()$