LeetCode 第 72 题：编辑距离（动态规划）

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状态：dp[i][j] 表示将 word1[0, i] 转换成为 word2[0, j] 的方案数。

状态转移方程：分类讨论（从中间情况开始考虑）。

（1）如果 word1.charAt(i) == word2.charAt(j) 成立，则什么都不用做，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]；
（2）否则：

① 修改 word1[i] 成为 word2[j] 以后；
② 将 word1[0, i] 的最后一个字符删除以后；
③ 将 word1[0, i] 的末尾添加一个字符以后；

由这三种情况转换而来。

dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + 1

• 初始化：这里数组 dp 多开一行，多开一列，为了满足边界条件。

// 初始化
for (int i = 0; i <= len1; i++) {
    dp[i][0] = i;
}

for (int j = 0; j <= len2; j++) {
    dp[0][j] = j;
}

• 输出：dp[len1][len2]

• 状态压缩：当前行只看上一行，因此可以使用“滚动数组”或者直接压缩到一行（有难度，因此，不压缩了）。

Java 代码：

public class Solution4 {

    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int len1 = word1.length();
        int len2 = word2.length();

        int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
        
        // 初始化
        for (int i = 0; i <= len1; i++) {
            dp[i][0] = i;
        }

        for (int j = 0; j <= len2; j++) {
            dp[0][j] = j;
        }

        for (int i = 0; i < len1; i++) {
            for (int j = 0; j < len2; j++) {
                if (word1.charAt(i) == word2.charAt(j)) {
                    dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j];
                    continue;
                }
                dp[i + 1][j + 1] = Math.min(dp[i][j + 1], Math.min(dp[i + 1][j], dp[i][j])) + 1;
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
}

真正去做“状态压缩”的时候，发现没有那么方便，因为初始化的原因。

Java 代码：

import java.util.Arrays;

public class Solution5 {

    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int len1 = word1.length();
        int len2 = word2.length();

        int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];

        // 状态转移方程：dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + 1
        // 初始化

        for (int i = 0; i <= len1; i++) {
            dp[i][0] = i;
        }

        for (int j = 0; j <= len2; j++) {
            dp[0][j] = j;
        }


        // 打印输出
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            System.out.println(Arrays.toString(dp[i]));
        }
        System.out.println();

        for (int i = 0; i < len1; i++) {
            for (int j = 0; j < len2; j++) {
                if (word1.charAt(i) == word2.charAt(j)) {
                    dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j];
                    continue;
                }
                dp[i + 1][j + 1] = Math.min(dp[i][j + 1], Math.min(dp[i + 1][j], dp[i][j])) + 1;
            }
        }

        // 打印输出
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            System.out.println(Arrays.toString(dp[i]));
        }

        return dp[len1][len2];
    }


    public static void main(String[] args) {
        Solution5 solution5 = new Solution5();
        String word1 = "horse";
        String word2 = "ros";
        int res = solution5.minDistance(word1, word2);
        System.out.println(res);
    }
}

输出：

[0, 1, 2, 3]
[1, 0, 0, 0]
[2, 0, 0, 0]
[3, 0, 0, 0]
[4, 0, 0, 0]
[5, 0, 0, 0]

[0, 1, 2, 3]
[1, 1, 2, 3]
[2, 2, 1, 2]
[3, 2, 2, 2]
[4, 3, 3, 2]
[5, 4, 4, 3]
3

说明：动态规划问题有的时候，思考得从中间状态开始思考，即先思考怎么转移，然后再去思考状态如何定义。