带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹推导

设质量为 $m$，带电荷量为q的带电粒子在匀强磁场 $\vec{B}$中运动，某一时刻的运动速度为 $\vec{v}$，则其运动方程为
$m\dot{\vec{v}}=q\vec{v}\times\vec{B}$

其中 $\dot{\vec{v}}$ 为速度 $\vec{v}$ 对时间 $t$ 的一阶导数，即加速度。
在运动方程等号两侧点乘 $\vec{v}$，由于 $\vec{v}\cdot(\vec{v}\times\vec{B})=0$，可以得到
$m \frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}=\frac{d}{dt} \left(\frac{mv^2}{2}\right)=0$

即粒子在匀强磁场中运动时，动能守恒。
建立空间直角坐标系，设磁场沿 $z$ 方向，即 $\vec{B}=B\vec{k}$， $\vec{k}$为沿 $z$ 方向的单位矢量。则有 $B_x = B_y =0$， $B_z=B$。令
$\omega =\left| \frac{qB}{m} \right|$

将运动方程写成分量形式，有
$\dot{v}_x = \omega v_y$

$\dot{v}_y = -\omega v_x$

$\dot{v}_z=0$

可以看出，粒子平行与磁场方向的速度 $v_{||}=v_z$ 是个常量。将上述方程再对时间求导，变成速度对时间的二阶导，可得
$\ddot{v}_x=\omega \dot{v}_y=-\omega^2v_x$

$\ddot{v}_y=\omega \dot{v}_x=-\omega^2v_y$

这两个方程是谐振子方程，其解为
$v_x=v_{x0}\sin(\omega t + \psi_0)$

$v_y=v_{y0}\cos(\omega t + \psi_0)$

其中 $v_{x0}$， $v_{y0}$分别为初始时刻速度的 $x$， $y$分量， $\psi_0$为初始时刻速度在 $X-Y$ 平面的投影与 $x$ 轴的夹角。将上述方程对时间积分，可以得到
$x-x_0=-\frac{v_{x0}}{\omega}\cos(\omega t + \psi_0)$

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$y-y_0=\frac{v_{y0}}{\omega}\sin(\omega t + \psi_0)$

对上面两式取平方和，消去三角函数，得到
$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = \frac{v_{\bot 0}^2}{\omega ^2}$

其中$ v_{\bot 0} $ 为初始时刻垂直磁场方向的速度（初始时刻速度在 $X-Y$ 平面的投影）。令
$r = \frac{v_{\bot 0}}{\omega}=\frac{mv_{\bot}}{|q|B}$

则
$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$

该方程是圆的轨迹方程。即粒子在匀强磁场中运动时，在平行于磁场方向做匀速直线运动，在垂直于磁场方向做匀速圆周运动。