牛客 A.托米的字符串（求期望、前缀）

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设随机变量 $X$为 “元音 $(a,e,i,o,u,y)$字母占子串长度比”，求 $X$ 的期望。

长度为 $1$ 的子串有 $n$ 个，

长度为 $2$ 的子串有 $n-1$ 个，

长度为 $3$ 的子串有 $n-2$ 个，

… …

长度为 $n$ 的子串有 $1$ 个，

所以，子串总共有 $\frac{n(n+1)}{2}$个。

随机取一个子串，等概率，即 $P(X) = \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}$

以 $legilimens$ 为例进行推导， $X$ 的分布列为：

长度为 $1$ 的子串：

X	$\frac{0}{1}$	$\frac{1}{1}$	$\frac{0}{1}$	$\frac{1}{1}$	$\frac{0}{1}$	$\frac{1}{1}$	$\frac{0}{1}$	$\frac{1}{1}$	$\frac{0}{1}$	$\frac{0}{1}$
P	$\frac{1}{55}$	$\frac{1}{55}$	$\frac{1}{55}$	$\frac{1}{55}$	$\frac{1}{55}$	$\frac{1}{55}$	$\frac{1}{55}$	$\frac{1}{55}$	$\frac{1}{55}$	$\frac{1}{55}$

长度为 $2$ 的子串：

X	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{0}{2}$
P	$\frac{1}{55}$	$\frac{1}{55}$	$\frac{1}{55}$	$\frac{1}{55}$	$\frac{1}{55}$	$\frac{1}{55}$	$\frac{1}{55}$	$\frac{1}{55}$	$\frac{1}{55}$

… …

长度为 $10$ 的子串：

X	$\frac{4}{10}$
P	$\frac{1}{55}$

由 $E(X) = \sum X_iP_i = \frac{1}{55}(\frac{4}{1}+\frac{8}{2}+......+\frac{4}{10})$ 可得到一般结论如下：

令 $sum[ i ]$ 表示前 $i$ 个字母中元音字母个数，

令长度为 $i$ 的子串中元音字母出现的个数之和为 $f[ i ]$，

$f[ 1 ]=sum[ n ]$

$f[ 2 ]=f[ 1 ]+sum[n−1]−sum[ 1 ]$（即在 $f[1]$ 的基础上， $sum[n−1]−sum[1]$ 这部分要再算一遍）

$f[ 3 ]=f[ 2 ]+sum[n−2]−sum[ 2 ]$（即在 $f[2]$ 的基础上， $sum[n−2]−sum[2]$ 这部分要再算一遍）

⋯⋯

最后答案是 $\frac{\sum \left( f[\ i\ ]\right/i)}{n(n+1)/2}$

AC代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
long long sum[1000010], f[1000010]; 

int main()
{
    string s;
    cin>>s;
    int len = s.length();
    
    for(int i = 0, j = 1; i < len; j++, i++)
    {
    	if(s[i]=='a'||s[i]=='e'||s[i]=='i'||s[i]=='o'||s[i]=='u'||s[i]=='y')
    		sum[j] = sum[j-1] + 1;
    	else
    		sum[j] = sum[j-1];
	}
	
	for(int i = 1; i <= len; i++)
		f[i] = f[i-1] + sum[len-i+1] - sum[i-1];
	
	double ans = 0;
	for(int i = 1; i <= len; i++)
		ans += f[i]*1.0/i;
	
	printf("%0.9f\n", ans/(1.0*len*(len+1)/2.0));
	return 0;
}