编程递归汉诺塔，3步分解，3分钟学会

如果要理解什么是递归，那么汉诺塔是一个非常经典的例子。几乎所有的教科书都会提到汉诺塔。

汉诺塔的传说

汉诺塔有一个非常有趣的传说。

在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。
来源：百度百科 汉诺塔

也就是说，当僧侣把64片金片从左边按照规则移动到最右边时，这个世界就会毁灭。

读到这里先不要紧张，让我们来分析看看这位僧侣有没有可能真的把64片金片都移到右边去。

定义银针

首先，我们可以给三个银针进行分类：

• 起始银针
  金片的起始位置。

• 过渡银针
  中间暂放其他金片的过渡位置。

• 目标银针
  最终放置金片的目标位置。

3步分解汉诺塔步

首先，我们可以先将解开汉诺塔的步骤分解，分解步骤可以帮助我们简化问题。这里我们以5片汉诺塔为例：

我们都知道，如果要将金片全部移动到最右边（目标银针），我们首先得把第5片金片（最下面的）先移动到最右边，因为其他可以移动的金片都比它小，所以不能放在它的上面。

第一步

那么，若要将第5片金片移到目标银针，我们首先还得把第1，2，3，4片金片都挪到过渡银针上，如下图：

第二步

接着，我们可以将第5片金片移动到目标银针上面：

第三步

然后我们再把过渡银针上面的金片移动目标银针上面就可以了。但注意，此时对于过渡银针上的金片来说，起始银针与过渡银针的角色互换了。

总结规律

每次我们要将第n个金片移动到目标银针时，都需要

1. 先将上方的n-1个金片移动到过渡银针上
2. 将第n个金片移动到目标银针上
3. 将过渡银针上的n-1个金片移动到目标银针上

以此类推，当我们准备将上方n-1个金片挪到过渡银针上时，对于第n-1个金片来说，之前的过渡银针就是它的目标银针，而我们得先将上方的n-2个金片移动到另外一个过渡银针上面。在那之前，我们得把上方n-3个金片给…

由此可见，这是一个递归过程，不停地将问题数量缩小，并且每一个阶段的逻辑都是一样的。

因此，我们可以将代码写成递归的方式，只是在每一次递归调用的时候，起始银针，过渡银针以及目标银针的角色总是会产生变化，因为对于不同阶段的不同金片来说，他们的起始，过渡以及目标银针是不一样的。

参考代码 Python

注意每一次调用递归函数的时候，银针每次都被作为不同角色的参数传入，这表示对于每一个金片来说，银针的角色都在变化。

# numDisks: integer 当前起始银针上需要考虑的金片
# source_rod: [] 起始银针
# middle_rod: [] 过渡银针
# target_rod: [] 目标银针
def move_hanoi_tower(numDisks, source_rod, middle_rod, target_rod):
	# 如果当前起始银针上需要考虑的金片只有1个的话，直接将其从起始银针移动到目标银针
    if (numDisks == 1):
        target_rod.insert(0, source_rod.pop(0))
    else:
    	# 否则，先将上方的金片都移动到过渡银针。这里过渡银针被传入当成目标银针
        move_hanoi_tower(numDisks-1, source_rod, target_rod, middle_rod)
        # 然后将当前的金片直接从起始银针移动到目标银针
        target_rod.insert(0, source_rod.pop(0))
        # 接着，再将过渡银针上的金片移动到目标银针。此时，过渡银针作为这些金片的起始银针
        move_hanoi_tower(numDisks-1, middle_rod, source_rod, target_rod)

步数计算

通过将汉诺塔步骤分解为3步之后，我们便可以轻松计算出任意数量金片所需移动的最少步数了。

根据3步分解：

1. 将n-1个金片移动到过渡银针需要x步
2. 将第n个金片移动到目标银针需要1步
3. 将n-1个金片从过渡银针移动到目标银针需要x步（同第一步需要一样的步数）

我们可以得到移动n个金片最少需要步数：
x + 1 + x = 2x + 1

也就是说，每增加一块金片所增加的步数，都是前一片金片步数的两倍加上一步。

我们可以为此制定一张表来看看，我们知道只有一片金片的时候步数是1：

金片数量	1	2	3	4	5	…	64
步数	1	3	7	15	31	…	1.84 * 10^19

公式为：
2^n - 1（n为金片数量）

由此可见，若是要把64片金片移动到最右边去，那需要的步数可是个天文数字啊！就是1秒钟移动一片，到宇宙毁灭的那天也没办法完成。

所以，我们不必担心当64片金片都移动到右边的时候这个世界会毁灭，因为在那之前，宇宙已经先毁灭了。