有关计数问题的DP

有关计数问题的DP

划分数

题目：放苹果_牛客网

描述

有 $n$个无区别的物品，将它们划分成不超过 $m$组，求出划分方法数模 $M$的余数。 $(1<=m<=n<=1000, 2<=M<=10000)$

输入

n = 4
m = 3
M = 10000

输出

4

题解

定义 $dp[i][j] = j的i划分的总数$

把 $n$件物品分成至多 $m$份 $=$ 把 $n$件物品分成至多 $m-1$份 $+$把 $n$件物品分成刚好 $m$份

对“把 $n$件物品分成刚好 $m$份”进行分析：把每一份都减一后就像相当于把 $n-m$件物品分成至多 $m$份

所以有： $dp[i][j] = dp[i][j - i] + dp[i-1][j]$

代码

#include <bits/stdd++/h>
#define maxn 30
#define _for(i, a) for(LL i = 0; i < (a); i++)
#define _rep(i, a, b) for(LL i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL inf = 0x3f3f3f3f;

int dp[maxn][maxn];

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
	//freopen("in.txt", "r", stdin);

	int n, m;
	while (cin >> n >> m) {
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		dp[0][0] = 1;
		_rep(i, 1, m) {
			_for(j, n + 1) {
				if (j >= i) {
					dp[i][j] = dp[i][j - i] + dp[i - 1][j];
				}
				else {
					dp[i][j] = dp[i - 1][j];
				}
			}
		}
		cout << dp[m][n] << "\n";
	}
	return 0;
}

---

多重集组合数

描述

有 $n$种物品，第 $i$种物品有 $a_i$个，不同种类的物品可以互相区分，但相同种类的物品无法区分。从这些物品中取出 $m$个的话，有多少种取法？求出方案数模 $M$的余数。 $(1<=n<=1000, 1<=m<=1000, 1<=a_i<=1000,2<=M<=10000)$

输入

n = 3
m = 3
a = {1, 2, 3}
M = 10000

输出

6

题解

定义 $dp[i][j] = 前i种物品中取出j个的组合总数$

所以为了从前 $i$中物品中取出 $j$个，可以从前 $i-1$种物品中取出 $j-k$个，再从第 $i$种物品拿出 $k$个

于是 $dp[i][j]=\sum_{k=0}^{min(i,a[i])}{dp[i-1][j-k]}$

这时候时间复杂度是 $O(n*m^{2})$，显然还是可以优化的

首先把求和式展开，注意到在k的上限里有一个取最小值，所以这里要分两种情况

• 当 $j>a[i]$时
  $dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]+...+dp[i-1][j-a[i]] \\ =dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i][j-1-a[i]]$
• 当 $j<=a[i]$时
  $dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]+...+dp[i-1][0] \\ =dp[i-1][j]+dp[i][j-1]$

这时候时间复杂度就降到 $O(n*m)$了