【LOJ6089】小Y的背包计数问题（DP）

Description

https://loj.ac/problem/6089

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Solution

我们将物品分为$\le \sqrt{n}$的和$>\sqrt{n}$的。

对于$>\sqrt{n}$的物品，我们可以将其看作是没有限制的。
至于怎么转移，我们有两种操作：
1. 加入一个大小为$\sqrt{n}+1$的物品；
2. 将所有物品大小都$+1$。
这样显然可以覆盖到所有情况。

对于$\le \sqrt{n}$的物品，如果当前枚举到$i$，我们可以存下当前位置的前面$i\times i$个位置中$\bmod i$与该位置同余的位置上的和，转移也是$O(n\sqrt{n})$的。

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Code

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 * Au: Hany01
 * Date: Aug 5th, 2018
 * Prob: LOJ6089 小Y的背包计数问题
 * Email: [email protected]
 * Inst: Yali High School
************************************************/

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef long double LD;
#define rep(i, j) for (register int i = 0, i##_end_ = (j); i < i##_end_; ++ i)
#define For(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i <= i##_end_; ++ i)
#define Fordown(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i >= i##_end_; -- i)
#define Set(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define x first
#define y second
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define SZ(a) ((int)(a).size())
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define INF1 (2139062143)
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define y1 wozenmezhemecaia
#define MOD (23333333)

template <typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template <typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read() {
    static int _, __; static char c_;
    for (_ = 0, __ = 1, c_ = getchar(); c_ < '0' || c_ > '9'; c_ = getchar()) if (c_ == '-') __ = -1;
    for ( ; c_ >= '0' && c_ <= '9'; c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);
    return _ * __;
}

const int maxn = 1e5 + 5;

int n, bk, Ans, f[2][maxn], g[2][maxn], sum[maxn], t;

void ad(int &x, int y) { if ((x += y) >= MOD) x -= MOD; }

int main()
{
#ifdef hany01
    freopen("loj6089.in", "r", stdin);
    freopen("loj6089.out", "w", stdout);
#endif

    n = read(), bk = sqrt(n);

    // >sqrt(n)
    f[0][0] = sum[0] = 1;
    for (register int i = 1; i * (bk + 1) <= n; ++ i) {
        t ^= 1;
        rep(j, i) f[t][j] = 0;
        For(j, i, n) {
            f[t][j] = f[t][j - i];
            if (j > bk) ad(f[t][j], f[t ^ 1][j - bk - 1]);
            ad(sum[j], f[t][j]);
        }
    }

    // <=sqrt(n)
    g[t][0] = 1;
    For(i, 1, bk) {
        int dis = i * (i + 1), tmp;
        t ^= 1;
        rep(j, i) {
            tmp = 0;
            for (int k = j; k <= n; k += i) {
                ad(tmp, g[t ^ 1][k]);
                if (k >= dis) ad(tmp, MOD - g[t ^ 1][k - dis]);
                g[t][k] = tmp;
            }
        }
    }

    For(i, 0, n) ad(Ans, (LL)sum[i] * g[t][n - i] % MOD);
    printf("%d\n", Ans);

    return 0;
}