图论进阶——二分图染色

二分图定义

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

下面放上一张图：

前面的讲解可能有一些不太好懂，这里给出一个简洁易懂的解释：

对于任意一个连通图，每个点可以被染成 $0$或 $1$两种颜色。

如果存在一种染色方案，使被任意一条边连接的两个点 $(u,v)$颜色不同，那么这个图就是一个二分图。

如上图所示，所有边的两个端点的颜色都是不相同的。

并且二分图真正的样子就是一个普通图，上图只是依据颜色将其分为了两个集合。

请记住，二分图是一个无向图。

一个小定理

当且仅当无向图G的回路个数为偶数时，图G为一个二分图。

无回路的图也是二分图。

二分图染色

有上面给出的定义可知，当你找到一个连通图中的一个点 $n$时，其周围通过一条边连接的点所可以染的颜色是唯一确定的。故对于一个联通的无向图来说，如果它是一个二分图，那么其染色方式必定只有 $2$种（因为对于一个点 $n$，其染色方式有且仅有 $2$种）。

如果不存在一个二分图，那么当你重复上面的染色过程是，必定会遇到矛盾，判定矛盾的方式也很简单，如果存在一条边 $(u,v)$，使得当你搜到 $v$时 $u$已经被染成了与 $v$相同的颜色，那么该图不为二分图，直接退出循环。

实现方式

如果该图不连通，请按如下操作对于各个部分分别实现。

for(int i=1;i<=n;i++){
    if(!col[i])  bfs(i);
}

初始：将点 $1$入队

$step\space 1:$选取队首点 $v$,然后将其出队。

$step\space 2:$枚举与其通过一条边连接的所有点，如果未染色，则染上与 $v$相反的颜色，将其入队。如果 $u$已染色，那么判断是否相同，相同则无影响，不同则二分图不存在。

$step\space 3:$重复进行步骤 $1$直到队列空。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int first[1000005],nxt[1000005],to[1000005],tot=0;
int col[100005];
void Add(int x,int y){
	nxt[++tot]=first[x];
	first[x]=tot;
	to[tot]=y;
}
bool bfs(int x){
	queue<int> q;
	col[x]=0;
	q.push(x);
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int e=first[u];e;e=nxt[e]){
			int v=to[e];
			if(col[v]==-1){
				col[v]=col[u]^1;
				q.push(v);
				continue;
			}
			if(col[v]==col[u])  return false;
		}
	}
	return true;
}
int main(){
	memset(col,0xff,sizeof(col));
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		Add(x,y);
		Add(y,x);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(col[i]==-1){
			if(!bfs(i)){
				cout<<"NO\n";
				return 0;
			}
		}
	}
	cout<<"YES\n";
	return 0;
}