【CodeM初赛A 6】二分图染色 题解

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题目大意

$~~~~~~$一幅有 n 个点的完全二分图，你要给每条边染色，可以染红、蓝、绿三种颜色，要求任意两条红边不共点，任意两条蓝边不共点。
$~~~~~~$求方案数。
$~~~~~~$n<=1e7

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题解

$~~~~~~$完全二分图转棋盘模型，即 $N×N$ 棋盘上放黑白棋子，每个格子至多放一个，同行同列没有相同颜色的棋子。
$~~~~~~$（注：这步不是必要的，不转模型其实也是一样的推法）

$~~~~~~$用容斥原理，先假设每个格子可以放多个，再减去不合法的方案。如果每个格子可以放多个，一个不合法的格子所在的行和列都不会再摆放其他棋子，也没有两个不合法的格子同行同列。因此我们有计算式：

$~~~~~~$其中 $A_{N−i}$ 表示在 $(N−i)×(N−i)$ 的棋盘上放单色棋子，使得没有棋子同行同列的方案数。 考虑从 $(N−1)×(N−1)$ 棋盘递推到 $N×N$ 棋盘，我们有:

$~~~~~~$第一项是在第 $N$ 行或者第 $N$ 列上放一枚棋子或者不放的方案数，由于放两枚棋子的情况会被统计两次，最后还需减去摆两枚棋子的方案数，即第三项。