区间历史最值笔记——线段树

例题

CPU监控
要你维护对序列上的操作：
1、区间加
2、区间赋值
3、区间最大值
4、区间历史最值

使用线段树+标记维护，记录节点上发生的所有事件。

注意到一个线段树节点，如果进行了modify操作，那么接下来的加法都可以认为是modify。

那么一个节点上的标记长度就至多为2了。

设 \(\text{add}\) 标记时节点实际要加的值，\(\text{mod}\) 表示覆盖。
考虑记录 \(\text{Add}\) 标记为所有祖先的 \(\text{add}\) 标记，历史上能达到的最大值。\(\text{Mod}\) 同理。
下放标记时注意到子节点上的标记发生时间在该点之前，依此时间顺序进行合并如下：

当下放加法标记，一方面由于 \(\text{Add}\) 是上方加法操作中最大增加的值，用它结合实际值来更新历史最值。
若子节点无 \(\text{mod}\) 标记那么标记向 \(\text{add}\) 上打，否则向 \(\text{mod}\) 上打。
并且要结合该子节点当前的操作值，更新对应操作的历史最值。

当下放覆盖标记，先用 \(\text{Mod}\) （历史最大覆盖值）更新子节点的历史最值和 \(\text{Mod}\)。
然后用实际覆盖值修改实际最大值和实际覆盖值。

下放标记要注意顺序，加法在先，赋值在后。由于该写法下放标记的操作数量很小，可能存在速度优势。

下面是这个题的代码，它在2020年1月19日是洛谷的Rank1.

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 100005;
const int inf = 1e9;

struct IO_tp
{
    static const int Sbuf=1<<21;
    char buf[Sbuf], *S, *T, c; int f;
    #define gc() (S==T?(T=(S=buf)+fread(buf,1,sizeof(buf),stdin),(S==T?EOF:*S++)):*S++)
    template<class I>
    inline IO_tp& operator >> (I &x)
    {
        for(f=1, c=gc(); c<'0'||c>'9'; c=gc()) if(c=='-') f=-1;
        for(x=0; c>='0'&&c<='9'; c=gc()) x=x*10+(c^48); x*=f;
        return *this;
    }
    inline char Readc()
    {
        for(c=gc(); c<'A'||c>'Z'; c=gc());
        return c;
    }
}io;

inline void ckmax(int&x,const int y)
{ x = x < y ? y : x; }

struct Segtree
{
    struct node {
        int max, add, mod;
        int Max, Add, Mod;
        node(): mod(-inf), Mod(-inf) {}
    }t[N << 2];
    
    #define lc (o << 1)
    #define rc (o << 1 | 1)
    
    void pushup(int o)
    {
        t[o].max = max(t[lc].max, t[rc].max);
        t[o].Max = max(t[lc].Max, t[rc].Max);
    }
    
    void dadd(int o, int x, int y)
    {
        ckmax(t[o].Max, t[o].max + x);
        t[o].max += y;
        if(t[o].mod == -inf)
            ckmax(t[o].Add, t[o].add + x), t[o].add += y;
        else
            ckmax(t[o].Mod, t[o].mod + x), t[o].mod += y;
    }
    
    void dmod(int o, int x, int y)
    {
        ckmax(t[o].Max, x);
        ckmax(t[o].Mod, x);
        t[o].mod = t[o].max = y;
    }
    
    void pushdown(int o)
    {
        if(t[o].add || t[o].Add)
        {
            dadd(lc, t[o].Add, t[o].add);
            dadd(rc, t[o].Add, t[o].add);
            t[o].Add = t[o].add = 0;
        }
        if(t[o].mod != -inf)
        {
            dmod(lc, t[o].Mod, t[o].mod);
            dmod(rc, t[o].Mod, t[o].mod);
            t[o].Mod = t[o].mod = -inf;
        }
    }
    
    void build(int o, int l, int r)
    {
        if(l == r)
        {
            int k; io >> k;
            t[o].max = t[o].Max = k;
            return;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        build(lc, l, mid); build(rc, mid + 1, r);
        pushup(o);
    }
    
    void update(int o, int l, int r, int pl, int pr, int x)
    {
        if(l > pr || r < pl)
            return;
        if(l >= pl && r <= pr)
        {
            dadd(o, x, x);
            return;
        }
        pushdown(o);
        int mid = (l + r) >> 1;
        update(lc, l, mid, pl, pr, x);
        update(rc, mid + 1, r, pl, pr, x);
        pushup(o);
    }
    
    void modify(int o, int l, int r, int pl, int pr, int x)
    {
        if(l > pr || r < pl)
            return;
        if(l >= pl && r <= pr)
        {
            dmod(o, x, x);
            return;
        }
        pushdown(o);
        int mid = (l + r) >> 1;
        modify(lc, l, mid, pl, pr, x);
        modify(rc, mid + 1, r, pl, pr, x);
        pushup(o);
    }
    
    int query(int o, int l, int r, int pl, int pr)
    {
        if(l > pr || r < pl)
            return -inf;
        if(l >= pl && r <= pr)
            return t[o].max;
        pushdown(o);
        int mid = (l + r) >> 1;
        return max(query(lc, l, mid, pl, pr), query(rc, mid + 1, r, pl, pr));
    }
    
    int Query(int o, int l, int r, int pl, int pr)
    {
        if(l > pr || r < pl)
            return -inf;
        if(l >= pl && r <= pr)
            return t[o].Max;
        pushdown(o);
        int mid = (l + r) >> 1;
        return max(Query(lc, l, mid, pl, pr), Query(rc, mid + 1, r, pl, pr));
    }
}z[1];

int main()
{
    freopen("cpu.in", "r", stdin);
    freopen("cpu.out", "w", stdout);
    int n, q, l, r, x; char opt[3];
    io >> n;
    z->build(1, 1, n);
    io >> q;
    while(q--)
    {
        opt[0] = io.Readc();
        io >> l >> r;
        if(*opt == 'Q')
            printf("%d\n", z->query(1, 1, n, l, r));
        if(*opt == 'A')
            printf("%d\n", z->Query(1, 1, n, l, r));
        if(*opt == 'P')
            io >> x, z->update(1, 1, n, l, r, x);
        if(*opt == 'C')
            io >> x, z->modify(1, 1, n, l, r, x);
    }
    return 0;
}