LightGBM源码如何计算增益

在之前的XGBoost原理理解中已经推导过XGBoost的决策树的分裂增益为 $\mathcal{L}_{split}={1\over2}\bigg[{(\sum_{i\in I_L}g_i)^2\over \sum_{i\in I_L}h_i+\lambda}+{(\sum_{i\in I_R}g_i)^2\over \sum_{i\in I_R}h_i+\lambda}-{(\sum_{i\in I}g_i)^2\over \sum_{i\in I}h_i+\lambda}\bigg]-\gamma$其中 $\lambda$是二阶正则化系数， $\gamma$是一阶正则化系数。因为我们计算这个的目的只是想比较哪个作为分割点会比较好，因此只用关心相对数值，所以可以忽略常数的影响继而可以写为 $Gain={G_L^2\over H_L+\lambda}+{G_R^2\over H_R+\lambda}-{(G_L+G_R)^2\over H_L+H_R+\lambda}-\gamma$

而在LightGBM的原始论文中，这个增益的定义3.1由体现，是通过分裂后的方差来度量的，和XGBoost还是有点差别，如下图
虽然和XGBoost大致意思差不多，分子都是一阶梯度的平方项，但是想看看究竟是不是一样的，要是不一样差别在哪里，所以这里分析了一下GitHub上LightGBM的源码LightGBM/src/treelearner/feature_histogram.hpp

ThresholdL1：L1阈值（源码446行）

static double ThresholdL1(double s, double l1) {
   const double reg_s = std::max(0.0, std::fabs(s) - l1);
   return Common::Sign(s) * reg_s;
   }

其中 $s$就是上述 $G^2$，即一阶导数之和，因此输出为： $sign(s)*\max\{0,|s|-l1\}$

CalculateSplittedLeafOutput：计算分裂节点的输出（源码451行）

static double CalculateSplittedLeafOutput(double sum_gradients, double sum_hessians, double l1, double l2, double max_delta_step) {
   double ret = -ThresholdL1(sum_gradients, l1) / (sum_hessians + l2);
   if (max_delta_step <= 0.0f || std::fabs(ret) <= max_delta_step) {
   return ret;
     } 
    else {
   return Common::Sign(ret) * max_delta_step;
     }
   }

一般情况（小于等于叶子的最大输出或这个最大输出小于等于0时）则输出： $-{sign(sum\_gradients)*\max\{0,|sum\_gradients|-l1\}\over sum\_hessians + l2}$目前为止这些计算都还不是我们熟悉的格式，从下面开始就能得到叶子的增益就可以看出来和XGBoost的差别了。

GetLeafSplitGainGivenOutput：给定输出结果得到叶子当前的增益（源码503行）

static double GetLeafSplitGainGivenOutput(double sum_gradients, double sum_hessians, double l1, double l2, double output) {
   const double sg_l1 = ThresholdL1(sum_gradients, l1);
   return -(2.0 * sg_l1 * output + (sum_hessians + l2) * output * output);
   }

这里的output就是上述计算出来的输出，因此带入可以得到： $\begin{aligned} &-\bigg(2*sg\_l1*(-{sg\_l1\over sum\_hessians + l2})+(sum\_hessians + l2)*(-{sg\_l1\over sum\_hessians + l2})^2\bigg)\\ &=-\bigg(-2*{sg\_l1^2\over sum\_hessians + l2}+{sg\_l1^2\over sum\_hessians + l2}\bigg)\\ &={sg\_l1^2\over sum\_hessians + l2}\\ &={\big(|sum\_gradients|-l1\big)^2\over sum\_hessians + l2} \end{aligned}$

这个和XGBoost的 $-{G^2\over H+\lambda}$还是有些微差别的，我们接着看分裂之后的增益。

GetSplitGains：得到分裂后的增益（源码460行）

private:
static double GetSplitGains(double sum_left_gradients, double sum_left_hessians,
   double sum_right_gradients, double sum_right_hessians,
   double l1, double l2, double max_delta_step,
   double min_constraint, double max_constraint, int8_t monotone_constraint) {
   double left_output = CalculateSplittedLeafOutput(sum_left_gradients, sum_left_hessians, l1, l2, max_delta_step, min_constraint, max_constraint);
   double right_output = CalculateSplittedLeafOutput(sum_right_gradients, sum_right_hessians, l1, l2, max_delta_step, min_constraint, max_constraint);
   if (((monotone_constraint > 0) && (left_output > right_output)) ||
      ((monotone_constraint < 0) && (left_output < right_output))) {
   return 0;
    }
   return GetLeafSplitGainGivenOutput(sum_left_gradients, sum_left_hessians, l1, l2, left_output)
      + GetLeafSplitGainGivenOutput(sum_right_gradients, sum_right_hessians, l1, l2, right_output);
   }

可以看出来分裂后的增益就是左子树的增益加上右子树的增益，即 ${\big(|sum\_left\_gradients|-l1\big)^2\over sum\_left\_hessians + l2}+{\big(|sum\_right\_gradients|-l1\big)^2\over sum\_right\_hessians + l2}$

最后调用FindBestThresholdSequence函数找到增益最大的分裂bin

因为代码太长了这里就不放了，但是可以知道最后分裂之后的增益就是分裂前的和分裂后之差，即 ${\big(|sum\_left\_gradients|-l1\big)^2\over sum\_left\_hessians + l2}+{\big(|sum\_right\_gradients|-l1\big)^2\over sum\_right\_hessians + l2}-{\big(|sum\_gradients|-l1\big)^2\over sum\_hessians + l2}$
与XGBoost的增益对比（ $\lambda$相当于 $l2$， $\gamma$当于 $l1$） $Gain={G_L^2\over H_L+\lambda}+{G_R^2\over H_R+\lambda}-{(G_L+G_R)^2\over H_L+H_R+\lambda}-\gamma$虽然L1正则化系数的位置有所不同，但大体上这两种增益差不太多，L1和L2所起的效果也是同样的。

参考资料：

GitHub：LightGBM源码
LightGBM源码阅读+理论分析（处理特征类别，缺省值的实现细节）