IOI2020第一轮选拔模拟7（莫比乌斯反演）

今天比赛是做的不太好，主要是T1的算法不会。

T1：这是一道莫比乌斯反演。

$ans=\sum \sum i*j*[gcd(i,j)\leqslant a]$

$=\sum [d\leqslant a]\sum \sum d*i*j[gcd(i,j)==1]$

$=\sum [d\leqslant a]\sum \sum d*i*j\sum \mu (k)[k|gcd(i,j)]$

$=\sum [d\leqslant a]d\sum \mu (k)\sum \sum i*j[k|i\wedge k|j]$

$=\sum [d\leqslant a]d\sum \mu (k)*k^{2}\sum \sum i*j[i\leqslant n/kd\wedge j\leqslant m/kd]$

$=\sum [d\leqslant a]d\sum \mu (k)*k^{2}S(n/kd)*S(m/kd)$ ps： $S(n)=1+2+3...+n$

设p=dk

$ans=\sum [d\leqslant a]\frac{p^{2}}{d}*\mu (\frac{p}{d})*S(\frac{n}{p})*S(\frac{m}{p})[d|p]$

这样直接枚举计算有50分。

接下来我们把n/p和m/p相同的分一块，把a从小到大排序。每一次新增一个a产生影响的只有a的倍数。用树状数组维护 $\frac{p^{2}}{d}*\mu (\frac{p}{d})$ 每次查询n、m的时候就直接分块查询就好了，因为最多只有 $\sqrt{n}$ 级别块。

T2：题解待更新。

T3：设 $F(n)=\prod (q^{i}-1)(1<=i<=n)$ ，那么 $ans=\frac{F(n+m)}{F(n)F(m)}$ 。这个可以结合这暴力dp的方程式和数学归纳法证。

但是知道了这条式子还是不能A这题，因为有可能存在某个q^x-1模p为0。这个我们很难处理。

于是我们找出最小的k使得q^k-1模p为0。然后我们将q^(ik)-1提取出来，其他的部分就直接预处理计算。而这些模p为0的数通过提取公因式之后会变成 $(q^{k}-1)^{n/k}*(\frac{n}{k})!$ 。如果此时(n+m)/k!=n/k+m/k，那么就是说(q^k-1)有剩余，那么答案为0。否则就是(q^k-1)会被全部约掉，那么我们只用考虑 $\frac{n}{k}!$ 即可。此时同理我们提取出 $\frac{n}{k}!$ 中p的倍数，继续缩小n和m,dg下去处理即可。这样就行了。

chiyankuan

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