码距
同一编码中，任意两个合法编码之间不同二进制位数的最小值
例：
0011与0001的码距为1，一位错误无法识别
校验码中增加冗余位的目的就是增加码距
码距与检查或纠错能力的关系
1）码距 >= e+1
可检测e个错误
2）码距 >= 2t+1
可纠正t个错误
3）码距 >= e + t + 1
可同时检测e个错误，纠正t个错误(e >= t)
选择码距要考虑的因素
码距越大，抗干扰能力越强，纠错能力越强，数据冗余越大，编码效率低，编码电路也相对复杂；
选择码距必须考虑信息发生差错的概率和系统能容许的最小差错率。
奇偶校验码
1)增加冗余码（校验位）
2）编码：根据有效信息计算校验信息位，使校验位（数据+1位校验信息）中1的个数满足奇/偶校验的要求
特点：
编码和检错简单
编码效率高
不能够检测偶数位错误，无错结论不可靠，是一种错误检测码
不能定位错误，因此不具备纠错能力
改进的奇/偶校验
双向奇偶校验
方块校验
垂直水平校验
可纠正1位错误
可检测出某行（列）上的奇数位
可检出一部分偶数位错误
不能检测出错码分布在矩形四个顶点上的错误
应用
路由器的配置
内存条
同步传输：奇校验。异步传输：偶校验
CRC校验及其应用
基本原理
增加冗余码（校验位）
生成多项式G(x)
收发双方约定一个（r+1）位二进制数，发送方利用G(x)对信息多项式做模2除运算，生成校验码。接收方利用G(x)对收到的编码多项式做模2除运算检测差错以及错误定位。
G(x)应满足的条件
A、最高位和最低位必须为1；
B、当被传送信息（CRC码）任何一位发送错误时，被生成多项式做除后应该使余数不为0；
C、不同位发送错误时，模2除运算后余数不同；
D、对不为0余数继续进行模2除运算应使余数循环；
模2运算规则
a）加减运算（异或运算，加不进位，减不借位）
b）按模2减，求部分余数，不借位
c）上商规则
1.部分余数首位为1时，商为1，减除数；
2.部分余数首位为0时，商为0，减0；
3.当部分余数的位数小于除数的位数时，该余数即为最后余数；
CRC编码方法
a）根据待校验信息的长度k，按照k+r<=2r-1确定校验位r的位数
如对4位信息1100进行CRC编码，根据4+r <= 2r-1
得rmin = 3；
b）根据r和多项式的选择原则，选择位数位r+1的生成多项式G(x)=1011
c）将待校验的二进制信息Q(x)逻辑左移r位，得到Q(X)’
d）对Q(X)'按模2运算法则除Q(X)，求CRC编码中的r位校验信息
e）用得到的余数替换Q(X)'的最后r位即可得到对应的CRC编码
接收方利用G(X)对收到的有错编码多项式做模2运算
余数不为0说明传输有错
不同位数出错，余数是不一样的
不同生成多项式，对应的相同位出错的余数，是不尽相同的。
一位出错情况下余数的循环特性进行纠错
若余数不为0，一边对余数补0继续做模2除，同时让被检测的校验码循环左移，当余数位101时，出错位也移到A1位置。通过异或运算纠正后继续循环左移和执行余数模2除法，直到修改后的出错位回原位，不需对每一位提供纠正电路。
当位数增多时，循环码校验能有效地降低硬件代价，这是它得以广泛应用的主要原因。
海明校验及其实现
增加冗余码（校验位）
1）设k+r位海明码从左到右依次为第1，2，3，…，k+r位，r位校验位记为Pi（i=1，2，…)，分别为位于k+r位海明编码的第2i-1(i=1,2,…,r)位上，其余依次放置被校验的数据位；
2）
