17. 二元离散型随机变量边际分布律与条件分布律

二元离散型随机变量边际分布律与条件分布律

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边际分布

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对于离散型随机变量 $(X,Y)$，分布律为 $P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}，i,j=1,2,\cdots$

$X,Y$ 的边际分布律为：

$P(X=x_j)=P(X=x_i,\bigcup_{j=1}^{\infty}(Y=y_j))=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}\overset{\text{记为}}{=}p_{i·}$

同理，

$P(Y=y_j)=P(\bigcup_{i=1}^{\infty}(X=x_j),Y=y_j)=\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij}\overset{\text{记为}}{=}p_{·j}$

注意： 记号 $p_{i·}$ 表示是由 $p_{ij}$ 关于 $j$ 求和后得到的；

$\quad\quad\,\,\,$ 同样 $p_{·j}$ 是由 $p_{ij}$ 关于 $i$ 求和后得到的；

$\begin{array}{c|ccccc|c} _X\bcancel{\quad^Y} & y_1 & y_2 & \cdots & y_j & \cdots & P(X=x_i) \\ \hline x_1 & p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1j} & \cdots & p_{1·} \\ x_2 & p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2j} & \cdots & p_{2·} \\ \vdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \vdots \\ x_i & p_{i1} & p_{i2} & \cdots & p_{ij} & \cdots & p_{i·} \\ \vdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \vdots \\ \hline P(Y=j) & p_{·1} & p_{·2} & \cdots & p_{·j} & \cdots & 1 \end{array}$

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例 1： 盒中装有 3 只红球，2 只白球，现分两从中任取 1 球，以 $X、Y$ 分别表示第 1、2 次取到的红球数。采用不放回与放回抽样分别求： $X,Y$的联合分布律及边际分布律。

解：

$X=\begin{cases} 0, & 第 1 次取到白球 \\ 1, & 第 1 次取到红球， \end{cases} Y=\begin{cases} 0, & 第 2 次取到白球 \\ 1, & 第 2 次取到红球 \end{cases}$

先计算不放回抽样：

$\begin{array}{c|cc|c} _X\bcancel{\quad^Y} & 0 & 1 & p_{i·} \\ \hline 0 & \cfrac{2}{5}·\cfrac{1}{4} & \cfrac{2}{5}·\cfrac{3}{4} & \cfrac{2}{5} \\ \\ 1 & \cfrac{3}{5}·\cfrac{2}{4} & \cfrac{3}{5}·\cfrac{2}{4} & \cfrac{3}{5} \\ \\ \hline p_{·j} & \cfrac{2}{5} & \cfrac{3}{5} & \end{array}$

再计算放回抽样：

$\begin{array}{c|cc|c} _X\bcancel{\quad^Y} & 0 & 1 & p_{i·} \\ \hline 0 & \cfrac{2}{5}·\cfrac{2}{5} & \cfrac{2}{5}·\cfrac{3}{5} & \cfrac{2}{5} \\ \\ 1 & \cfrac{3}{5}·\cfrac{2}{5} & \cfrac{3}{5}·\cfrac{3}{5} & \cfrac{3}{5} \\ \\ \hline p_{·j} & \cfrac{2}{5} & \cfrac{3}{5} & \end{array}$

上面两表中，联合分布律不同，但它们的边际分布律相同；这说明，仅由边际分布一般不能得到联合分布。

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例 2： 设一群体 80％ 的人不吸烟， 15％ 的人量吸烟，5％ 的人吸烟较多，且已知近期他们患呼吸道疾病的概率分别为 5％，25％，70％。记

$X=\begin{cases} 0, & \text{不吸烟} \\ 1, & \text{少量吸烟} \\ 2, & \text{吸烟较多} \end{cases}， Y=\begin{cases} 1, & \text{患病} \\ 0, & \text{不患病} \end{cases}$

求：（1） $(X,Y)$ 的联合分布和边际分布
$\quad\,\,\,\,$（2）求患者人中是吸烟者的概率。

解：（1）由题意可得：

$\begin{array}{c|ccc} X & 0 & 1 & 2 \\ \hline P & 0.8 & 0.15 & 0.05 \end{array}$

$P\{Y=1|X=0\}=0.05，P\{Y=1|X=1\}=0.25，P\{Y=1|X=2\}=0.70$，

由乘法公式： $P\{X=i,Y=j\}=P\{X=i\}P\{Y=j|X=i\}$

$\begin{array}{c|cc|c} _X\bcancel{\quad^Y} & 0 & 1 & P(X=i) \\ \hline 0 & 0.76 & 0.04 & 0.80 \\ 1 & 0.1125 & 0.0375 & 0.15 \\ 2 & 0.015 & 0.035 & 0.05 \\ \hline P(Y=j) & 0.8875 & 0.1125 & 1 \end{array}$

解： （2）

$\begin{aligned} & P(患病人中是吸烟者) \\ & = P\{(X=1)\bigcup(X=2)|Y=1\} \\ &\overset{\text{不相容 }}{=} P\{X=1|Y=1\} + P\{X=2|Y=1\} \\ \\ &= \cfrac{P\{X=1,Y=1\}}{P\{Y=1\}} + \cfrac{P\{X=2,Y=1\}}{P\{Y=1\}} \\ &= \cfrac{0.0375 + 0.035}{0.1125} = 0.6444 \end{aligned}$

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条件分布

对于两个事件 $A,B$ ，若 $P(A)>0$ ，可以考虑条件概率 $P(B|A)$，对于二元离散型随机变量 $(X,Y)$，设其分布律为：
$P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}\quad i,j=1,2,\cdots$

若 $P(Y=y_j)=p_{·j}>0$，考虑条件概率 $P(X=x_i|Y=y_j)$

由条件概率公式可得：

$P(X=x_i|Y=y_j) = \cfrac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\cfrac{p_{ij}}{p_{·j}}$

当 $X$ 取遍所有可能的值，就得到了条件分布律。

定义： 设 $(X,Y)$ 是二元离散型随机变量，对于固定的 $y_j$，若 $P(Y=y_j)>0$，则称：

$P(X=x_i|Y=y_j)=\cfrac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\cfrac{p_{ij}}{p_{·j}} \quad i=1,2,\cdots$

为在 $Y=y_j$ 条件下，随机变量 $X$ 的条件分布律；

同样，对于固定的 $x_i$，若 $P(X=x_i)>0$，则称：

$P(Y=y_j|X=x_i)=\cfrac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(X=x_i)}=\cfrac{p_{ij}}{p_{i·}} \quad j=1,2,\cdots$

为在 $X=x_i$ 条件下，随机变量 $Y$ 的条件分布律。

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例 3： 盒中装有 3 只红球， 4 只黑球， 3 只球，在其中不放回取 2 球，以 $X$ 表示取到红球的只数, $Y$ 表示取到黑球的只数。求（1） $X,Y$ 的联合分布律；（2） $X=1$ 时 $Y$ 的条件分布律.

解： （1） $X,Y$ 的取值均为 0，1，2

$P(X=0,Y=0)=\cfrac{C_{3}^{0}\,C_{4}^{0}\,C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}}$

$P(X=i,Y=j)=\cfrac{C_{3}^{i}\,C_{4}^{j}\,C_{3}^{2-i-j}}{C_{10}^{2}}\quad i,j=0,1,2,i+j\leq2.$

$X,Y$ 的分布律为：

$\begin{array}{c|ccc} _X\bcancel{\quad ^Y} & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 1/15 & 4/15 & 2/15 \\ 1 & 3/15 & 4/15 & 0 \\ 2 & 1/15 & 0 & 0 \end{array}$

（2）由（1）可知， 由于 $P(X=1)=7/15$

故在 $X=1$ 的条件下， $Y$ 的分布律为：

$P(Y=0|X=1)=\cfrac{P(X=1,Y=0)}{P(X=1)}=\cfrac{3}{7}$，

$P(Y=1|X=1)=\cfrac{4}{7}$，

$P(Y=2|X=1)=0.$

$\begin{array}{c|ccc} Y & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(Y=j|X=1) & 3/7 & 4/7 & 0 \end{array}$

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例 4： $(X,Y)$ 的联合分布律为：

$\begin{array}{c|ccc} _X\bcancel{\quad ^Y} & -1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & a & 0.2 & 0.2 \\ 2 & 0.1 & 0.1 & b \\ \end{array}$

已知， $P(Y\leq 0 | X < 2)=0.5$

求：
（1） $a,b$ 的值；
（2） $\{X=2\}$ 条件下 $Y$ 的条件分布律；
（3） $\{X+y=2\}$ 条件下 $X$ 的条件分布律；

解：考虑包含 $a, b$ 的方程

$\begin{cases} a+b+0.6 = 1 \\ P(Y\leq 0 | X < 2)=0.5 \end{cases}$

$\begin{aligned} 0.5 &= \cfrac{P(Y\leq 0|X<2)}{P(X<2)} = \cfrac{P(X=1,\{Y=-1\}\bigcup \{Y=0\})}{P(X=1)} \\ &= \cfrac{P(X=1,Y=-1)+P(X=1,Y=0)}{P(X=1)} \\ &= \cfrac{a+0.2}{a+0.4} \\ \\ &\implies a=0, \quad b=0.4 \end{aligned}$

解：（2） $P(X=2)=0.1+0.1+b=0.6$

$\begin{array}{c|ccc} _X\bcancel{\quad ^Y} & -1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0.2 & 0.2 \\ 2 & 0.1 & 0.1 & 0.4 \\ \end{array}$

$\implies P(Y_j|X=2)=\cfrac{P(X=2,Y=j)}{P(X=2)}= \begin{cases} 1/6, & j=-1 \\ 1/6, & j=0 \\ 2/3, & j=1 \end{cases}$

所以， $\{X=2\}$ 条件下 $Y$ 的条件分布律为：

$\begin{array}{c|ccc} Y & -1 & 0 & 1 \\ \hline P(Y=j|X=2) & \cfrac{1}{6} & \cfrac{1}{6} & \cfrac{2}{3} \end{array}$

解：（3） $P(X+Y=2)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=0)=0.2+0.1=0.3$

$\begin{array}{c|ccc} _X\bcancel{\quad ^Y} & -1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0.2 & 0.2 \\ 2 & 0.1 & 0.1 & 0.4 \\ \end{array}$

$P(X=i|X+Y=2)=\cfrac{P(X=i,Y=2-i)}{P(X+Y=2)}= \begin{cases} 2/3, & i = 1 \\ 1/3, & i = 2 \end{cases}$

$\{X+Y=2\}$ 条件下 $X$ 的条件分布律为：

$\begin{array}{c|cc} X & 1 & 2 \\ \hline P(X=i|X+Y=2) & \cfrac{2}{3} & \cfrac{1}{3} \end{array}$