约瑟夫环问题
N个人围成一圈，从第一个开始报数，第M个将被杀掉，最后剩下一个，其余人都将被杀掉。例如N=6，M=5，被杀掉的顺序是：5，4，6，2，3，1。
使用顺序表求解
package pers.zhang.linearList;
/**
* @author zhang
* @date 2020/1/13 - 18:55
*
* 使用顺序表求解约瑟夫环问题
*/
public class Josephus {
//创建约瑟夫环并求解，参数指定环长度、起始位置、计数
public Josephus(int number, int start, int distance)
{
SeqList<String> list = new SeqList<String>(number);
//采用顺序表存储约瑟夫环的元素，元素类型是字符串，构造方法参数指定顺序表容量
for (int i = 0; i < number; i++)
list.append((char)('A' + i) + "");//添加字符串对象
System.out.print("约瑟夫环(" + number + "," + start + "," + distance + ")，");
System.out.println(list.toString()); //输出顺序表的描述字符串
int i = start;//计数起始位置
while (list.length() > 1)//多于一个对象时循环
{
i = (i + distance - 1) % list.length();//计数按循环规律变化，顺序表可看作是环形结构
System.out.print("删除" + list.remove(i).toString() + "，"); //删除指定位置对象
System.out.println(list.toString());
}
System.out.println("被赦免者是" + list.get(0).toString());
}
public static void main(String args[])
{
new Josephus(5,0,2);
}
}
测试结果：
约瑟夫环(5,0,2)，(A, B, C, D, E)
删除B，(A, C, D, E)
删除D，(A, C, E)
删除A，(C, E)
删除E，(C)
被赦免者是C
公式法
递推公式：
-
f(N,M)表示，N个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号f(N−1,M)
-
f(N−1,M)表示，N-1个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
推倒过程：
- 第一个被删除的数位(m - 1) % n
- 第二轮开始的数字为k，那么这n-1个数构成的约瑟夫环为k, k + 1, k + 2, …, k - 3, k - 2 （k-1已经退出）
现在做一个简单映射
p(x) = (x - k) % n
k —> 0
k + 1 —> 1
k + 2 —> 2
…
k - 2 —> n - 2
这是一个n-1个人的约瑟夫环，如果能从n-1个人的问题的解退出n个人问题的解，从而得到一个递推公式，那么问题就解决了。
假如我们已经知道了n-1个人时，最后胜利者的编号为x，利用映射关系逆推，就可以得出n个人时，胜利者的编号为(x+k)%n。其中k=m%n。
代入:
(x + k) % n <=>
(x + (m % n)) % n <=>
(x % n + (m % n) % n) % n <=>
(x % n + m % n) % n <=>
(x + m) % n
- 第二个被删除的数为(m - 1) % n - 1
- 假设第三轮的开始数字为o，那这n-2个数构成的约瑟夫环为o,o+1,o+2,…,o-3,o-2。继续做映射
p(x) = (y - o) % (n - 2)
o —> 0
o + 1 —> 1
o + 2 —> 2
…
o - 2 —> n - 3
这是一个n-2个人的问题。假设最后胜利者为y，那么n-1个人时，胜利者为(y+o)%(n-1)，其中o等于m%(n-1)。代入可得(y+m)%(n-1)
这是一个n-2个人的问题。假设最后胜利者为y，那么n-1个人时，胜利者为(y+o)%(n-1)，其中o等于m%(n-1)。代入可得(y+m)%(n-1)
f ( 1 ) = 0
f ( i ) = ( f [ i - 1 ] + m ) % i ; ( i > 1 )
代码实现：
public static int getJosephus(int n,int m)
{
int p = 0;
for(int i = 2;i <= n;i++)
{
p = (p + m) % i;
}
return p + 1;
}
