第7章 特征值与特征向量 矩阵的标准型

• 定义 7.1 欧氏空间$V(R)$的一个线性变换$\sigma$称为正交变换，如果$\forall \alpha,\beta \in V$，都有

  $$(\sigma(\alpha),\sigma(\beta))=(\alpha,\beta)$$ 或者 $$|\sigma(\alpha)|=|\alpha|$$

  原内积=像的内积
  原长度=像的长度
  $<\alpha,\beta>=arccos \frac{(\alpha,\beta)}{|\alpha||\beta|}$，所以夹角不变

• 定义 7.2 欧氏空间V(R)的正交变换$\sigma$关于V的单位正交基所对应的矩阵A称为正交矩阵

• 定义 7.3 n阶实矩阵A称为正交矩阵，如果$A^TA=E$。
  正交矩阵相关性质：
  （1）$A^{-1}=A^T$，且$A^T$也是正交矩阵
  （2）$|A|=1\text 或 -1$
  （3）AB是正交矩阵，则BA也是

• Schmidt正交化
  

• 定理 7.1 若A可逆，则存在正交矩阵Q和主对角为正数的上三角矩阵R，使得

  $$A=QR$$

  通过Schmidt正交化证明

• 定理 7.4 设线性变换$\sigma \in L(V,V)$，$B_1=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$和$B_2=\{\beta_1,\cdots,\beta_n\}$是线性空间V(F)的两组基，基$B_1$变为基$B_2$的变换矩阵是C，如果$\sigma$在基$B_1$下的矩阵是A，则$\sigma$在基$B_2$下的矩阵是$B=C^{-1}AC$，称A相似于B，记作$A\sim B$

• 定义 7.5 设$\sigma$是线性空间V(F)的一个线性变换，如果存在数$\lambda$和非零向量$\zeta \in V$，使得

  $$\sigma(\zeta)=\lambda \zeta$$ 则称数$\lambda$是$\sigma$的一个特征值，$\zeta$是$\sigma$的属于其特征值$\lambda$的特征向量。

• 定理 7.6 若矩阵A与B相似，则它们的特征多项式相等，即
  

  $$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$$

  矩阵相似可以看作同一映射在不同基下的矩阵表示。特征值肯定是相同的。

• m个特征子空间的和是直和，即
  

  $$dim(V_{\lambda_1}+\cdots+V_{\lambda_m})=\sum_{j=1}^mdimV_{\lambda_j}$$

• 直和：$W_1\cap W_2$=0，则

  $$W_1+W_2=\{\alpha | \alpha=\alpha_1+\alpha_2, \alpha_1 \in W_1, \alpha_2 \in W_2 \}$$ 叫做$W_1与W_2$的直和

$\alpha=\alpha_1+\alpha_2$唯一
交0
分解只能$0=0+0$
$dim(W_1+W_2)=dim(W_1)+dim(W_2)$
这四个命题等价

如果有限维线性空间V(F)的线性变换$\sigma$在V的某个基下的对应矩阵是对角阵，则称$\sigma$是可对角化的线性变换。同样与对角阵相似的矩阵A称为可对角化矩阵。

• 定理7.8 A可对角化$\iff$A有n个线性无关的特征向量

• 实对称矩阵A的特征值都是实数

• 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量是正交的

• 若A是一个n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得

  $$Q^{-1}AQ=diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$$

  证明：A至少存在一个特征值（且是实数）（$|\lambda E-A|=0$，至少有n个根，包括重根。肯定有解$\lambda_1$。有解就表明零空间维度>0，存在非零的特征向量），所以至少存在相应的非零特征向量。之后用归纳法证明。
  说明实对称矩阵一定可对角化

• 实对称矩阵A有$X^TAX>0$恒成立，则A是正定矩阵。其相合于对角元大于0的对角阵。

• 做坐标变换$X=CY$，得到二次型$f=Y^T(C^TAC)Y$，不影响正定性。C是可逆矩阵

• 正定$\iff$A的n个顺序主子式都大于0