[dp] LeetCode 62. Unique Paths

输入：两个int m和n
输出：一个int,表示不同路径的个数。
规则：有一个m行n列的矩阵，一个机器人从左上角走到右下角，每次向下或者向右走一格。

分析：目的是要找到从(0,0)到(m-1,n-1)有多少种不同 的走法。如果m=3，n=2。我们按照下图走一遍。知道有3种走法。先观察每种走法向下的箭头都是2个，向右的箭头都是1个。所以可以得出结论无论哪种走法向右和向下的数量是一定的。向下的数量是m-1，向右的数量是n-1。从(0,0)到(m-1,n-1)要经过m+n-2步。所以这就是一个组合题： $C^{m-1}_{m+n-2}$。

	public int uniquePaths(int m, int n) {
        int a = Math.min(m,n)-1;
        int b = m+n-2;
        long p = 1;
        long q = 1;
        for(int i=0;i<a;i++){
            p = p * (b-i);
            q = q * (i+1);
        }
        return (int)(p/q);
    }

分析2：我们给这个矩阵每个方格用坐标表示(i,j)。

我们用dp[i][j]表示走到坐标(i,j)有多少种走法。
我们自己手画一下知道dp[1][1]=2，就是有2种路径到达(1,1)。看图中能够到达(1,1)只有可能是从(1,0)或者(0,1)这两个坐标走过来。那dp[1][1]与dp[1][0]、dp[0][1]是什么关系呢？
实际走一下，知道dp[0][1]=1，dp[1][0]=1，那么dp[1][1]=dp[1][0]+dp[0][1]。为了防止错误，再多走几个格子:dp[2][0]=1,dp[2][1]=dp[2][0]+dp[1][1]。从含义角度讲：经过(0,1)点达到(1,1)和经过(1,0)点到达(1,1)的路径肯定是不相同的，所以用加法不会出错，也不会计算重复了。所以得到动态方程：
$dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]$
第0行和第0列的数据需要单独初始化。

	public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        dp[0][0] = 1;
        for(int j=1;j<n;j++){
            dp[0][j]=1;
        }
        for(int i=1;i<m;i++){
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }

空间优化：

	public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[] dp = new int[n];
        for(int j=0;j<n;j++){
            dp[j]=1;
        }
        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                dp[j] = dp[j]+dp[j-1];
            }
        }
        return dp[n-1];
    }

参考链接