LeetCode 62. 不同路径 Unique Paths（C语言）

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题目描述：

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

• 说明：m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

题目解答：

方法1：动态规划

每个位置存储到达当前位置(i, j)有多少种路径，(i - 1, j)和(i, j - 1)都可到达该位置，所以位置(i, j)的路径情况取决于(i - 1, j)和(i, j - 1)。
运行时间0ms，代码如下。

int uniquePaths(int m, int n) {
    int dp[101][101] = { 0 };
    int i = 0, j = 0;
    for(i = 0; i < m; i++)
        dp[i][0] = 1;
    for(i = 1; i < n; i++)
        dp[0][i] = 1;
    for(i = 1; i < m; i++) {
        for(j = 1; j < n; j++)
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
    }
    return dp[m - 1][n - 1];
}

方法2：数学法

从起点走到终点总共有m + n - 2次需要选择走下或右，而走下的有m - 1次，所以结果就是C(m + n - 2, m - 1)，但需要注意乘法可能会导致溢出，所以需要尽可能减少乘的次数。
运行时间0ms，代码如下。

int uniquePaths(int m, int n) {
    int i = 0;
    unsigned long long res = 1;
    if(m > n) {
        i = n;
        n = m;
        m = i;
    }
    for(i = n; i <= m + n - 2; i++)
        res *= i;
    for(i = 1; i <= m - 1; i++)
        res /= i;
    return res;
}