100027. 【NOIP2017提高A组模拟7.7】表达式

题目描述

• 求：
• $\sum_{i=1}^{kp}i^{2p-1} \mod p^2$
• 其中p为质数
• $1 \le k,p \le 10^9$

题目描述

其中最关键的是p是质数

方法一：

然后，“数论算个屁，打表找规律。” 就闪亮登场了！

首先我们枚举k与p，然后得出了以下的规律：
p=2，答案序列为：1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0…
p=3，答案序列为：6,6,0,6,6,0,6,6,0,6,6,0…
p=5，答案序列为：15,10,10,15,0,15,10,10,15,0…
p=7，答案序列为：28,14,7,7,14,28,0,28,14,7,7,14,28,0…
p=11，答案序列为：66,22,110,88,77,77,88,110,22,66,0…

由此，我们可以3个规律：
1.答案序列有循环节，且长度为p
2.每一个循环节都是回文的（0除外）
3.每一个数都可以被p整除

可即使这样，我们还是不能发现个所以然，所以我们还要简化。
这时，我们通过规律3，给每一个数除p
注：我们去掉p=2（因为太特殊），然后让循环节的回文串折半
p=3：2
p=5：3,2
p=7：4,2,1
p=11：6,2,10,8,7

只要对数字有点敏感的人，都可以看得出来，后一项与前一项的差，是一个等差数列！（当然，是在 $\mod p$意义下）

于是乎，我们便可以@#￥@￥#@%@#￥@#￥，AC！

方法二：

好吧，我们来一点正常点的方法。

首先，我们来证明一个式子：
$\sum_{i=1}^{p-1}i^{2p-1} \equiv \frac {p(p+1)}{2}(\mod p^2)$
我们来推一波
如果此式子是正确的，则：
$\sum_{i=1}^{p-1}[i^{2p-1}+(p-i)^{2p-1}] \equiv p(p+1)(\mod ^2p)$

$\sum_{i=1}^{p-1}[i^{2p-1}+(2p-1)pi^{2p-2}-i^{2p-1}] \equiv p(p+1)(\mod p^2)$

$\sum_{i=1}^{p-1}(2p-1)pi^{2p-2} \equiv p(p+1)(\mod p^2)$

$\sum_{i=1}^{p-1}(2p-1)i^{2p-2} \equiv (p+1)(\mod p)$

$\sum_{i=1}^{p-1}(2p-1) \equiv (p+1)(\mod p)$

$(p-1)(2p-1) \equiv 1(\mod p)$

$1 \equiv 1(\mod p)$

接着让我们来看一下原来的式子：
$\sum_{i=1}^{kp}i^{2p-1} \mod p^2$
让我们继续去推一波
$\sum_{i=0}^{k-1}\sum_{j=1}^{p}(ip+j)^{2p-1} \mod p^2$

$\sum_{i=0}^{k-1}\sum_{j=1}^{p-1}(ip+j)^{2p-1} \mod p^2$

$\sum_{i=0}^{k-1}\sum_{j=1}^{p-1}j^{2p-1}+(2p-1)ipj^{2p-2} \mod p^2$

$\frac {kp(p+1)}{2}+\sum_{i=0}^{k-1}\sum_{j=1}^{p-1}(2p-1)ipj^{2p-2} \mod p^2$

$\frac {kp(p+1)}{2}+\sum_{i=0}^{k-1}i*\sum_{j=1}^{p-1}(2p-1)pj^{2p-2} \mod p^2$

到了这一步，我们便陷入了瓶颈，怎么化简呢？
别着急，我们看一看在证明引理的时候，我们的一行证明。
$\sum_{i=1}^{p-1}(2p-1)pi^{2p-2} \equiv p(p+1)(\mod p^2)$
再看看
$\sum_{j=1}^{p-1}(2p-1)pj^{2p-2} \mod p^2$
是不是很interesting!让我们来继续化简
$\frac {kp(p+1)}{2}+\sum_{i=0}^{k-1}i*p(p+1) \mod p^2$

$\frac {kp(p+1)}{2}+\sum_{i=0}^{k-1}i*p \mod p^2$

$\frac {kp(p+1)}{2}+\frac {k(k-1)}{2}*p \mod p^2$

然后就解出来了！
时间复杂度：O(1)（明显的）

代码（这里只给“打表”法）

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
	ll k,p;scanf("%lld%lld",&k,&p);
	k%=p;
	if(k==0) printf("0\n");
	else{
		if(p-k<k) k=p-k;
		ll st=p-(p-1)/2,ed=p-(p-1)/2+k-1;
		ll t=((st+ed)*k/2)%p;
		printf("%lld\n",t*p);
	}
	return 0;
}