JZOJ 100027. 【NOIP2017提高A组模拟7.7】表达式

JZOJ 100027. 【NOIP2017提高A组模拟7.7】表达式

题目

Description

Input

一行两个整数k，p。

Output

一行一个整数表示答案。

Sample Input

1 3

Sample Output

6

Data Constraint

对于20%的数： $k*p<=10^5$。
对于另外20%的数据k=1。
对于70%的数据： $k*p<=10^9$。
对于100%的数据：k，p<= $10^9$。

题解

方法一

（内容来源：https://jzoj.net）

方法二

当 $p=2$，答案为 $1,0,1,0,1,0,1,0,1,0……$。
当 $p=3$，答案为 $6,6,0,6,6,0,6,6,0……$。
当 $p=5$，答案为 $15,10,10,15,0,15,10,10,15,0……$。
当 $p=7$，答案为 $28,14,7,7,14,28,0,28,14,7,7,14,28,0……$。
当 $p=11$，答案为 $66,22,110,88,77,77,88,110,22,66,0……$。
$……$
这样好像看不出什么，但可以发现两点：
1、答案有循环，且每个循环节是回文的， $k|p$时答案为0.
2、 $p&gt;2$时非 $0$的答案为 $p$的倍数。
那么我们把每个循环节前一半的答案除以 $p$找出来。
当 $p=3$： $2$。
当 $p=5$： $3,2$。
当 $p=7$： $4,2,1$。
当 $p=11$： $6,2,10,8,7$。
当 $p=13$： $7,2,11,8,6,5$。
当 $p=17$： $9,2,13,8,4,1,16,15$。
当 $p=23$： $12,2,16,8,1,18,13,9,6,4,3$。
$……$
通过观察发现，每一行的第一项为 $\frac{p+1}{2}$。
后面的呢？
不难发现（其实很难），每一项为一个公差为 $1$的等差数列的前缀和，再对 $p$取模。
举例：
当 $p=23$，等差数列 $12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22$。
当 $p=23$，前缀和 $12,25,39,54,70,87,105,124,144,165,187$。
当 $p=23$，对 $p$取模后 $12,2,16,8,1,18,13,9,6,4,3$。
这样就可以快速实现了，注意 $p=2$要特判。

代码

方法二的代码。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int main()
{
	int k,p;
	scanf("%d%d",&k,&p);
	if(p==2)
	{
		printf("%d",k%2);
		return 0;
	}
	k%=p;
	if(k==0)
	{
		printf("0");
		return 0;
	}
	if(k>p/2) k=p-k;
	long long s=(p+1)/2;
	long long t=s+k-1;
	printf("%lld",(s+t)*k/2%p*p);
	return 0;
}