第十五天（1）：最大公约数GCD（欧几里得算法）

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1. 定理证明

证明：a, b 的最大公约数，同时也是 b, a mod b 的最大公约数
若 g 为 a, b（不同时为0）的公约数，则 g 满足：
$a = g * l$
$b = g * m$
其中l, m为整数。a和b又可表示为下式：
$a = b * k + r$
变形后得到：
$g * l = g * m * k + r$
$r = g * (l - m * k)$
所以得到 a、b 的公约数同时也必是 b、a mod b 的公约数

假设 g 是 a、b 的最大公约数，但他并不是 a mod b 的最大公约数

即存在 $g' > g$ ，且 $g'$ 同时整除 b, a mod b

则存在整数 $l'$, $m'$使得下式成立：
$b = g' * m'$
$r = a Mod b = g' * l'$
同时有：
$a = b * k + r$
$a = (g' * m') * k + (g' * l')$
$a = g' * (m' * k + l')$
所以 $g'$ 也同时整除 a，则 $g'$ 同时也是 a, b 的公约数，与题目不符合
所以可证得：a, b 的最大公约数，同时也是 b, a mod b 的最大公约数

2. 问题求解

我们把求 a、b 的最大公约数转换成了求 b、a mod b 的最大公约数, 那么问题不变而数据规模则明显变小, 我们可以不断重复该过程, 直到问题缩小成求某个非零数与零的最大公约数，这样，该非零数即是所求。

过程

1. 若 a, b 全为0，则他们的最大公约数不存在
2. 若 a, b 其中之一为0， 则他们的最大公约数为 a, b 中非零的那一个
3. 若 a, b 都不为0，则使 $a' = b$, $b' = aModb$
4. 重复过程

3. T

最大公约数

描述: 输入两个正整数,求其最大公约数。

输入: 测试数据有多组,每组输入两个正整数。

输出: 对于每组输入,请输出其最大公约数。

样例输入:
49 14

样例输出:
7

3. 1 Non Recursive

//
// main.cpp
// GCD_NonRecursive
//
// Created by Apple on 2019/8/19.
// Copyright © 2019 Apple_Lance. All rights reserved.
//

#include <iostream>
#include <stdio.h>

int gcd(int a, int b){
    while(b != 0){
        int tmp = a % b;
        a = b;
        b = tmp;
    }
    return a;
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...
    int a, b;
    while(scanf("%d%d", &a, &b) != EOF)
        printf("%d", gcd(a, b));
    return 0;
}

3. 2 Recursive

//
//  main.cpp
//  GCD
//
//  Created by Apple on 2019/8/19.
//  Copyright © 2019 Apple_Lance. All rights reserved.
//

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;

int gcd(int a, int b){
    if(b == 0)
        return a;
    else
        return gcd(b, a%b);
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...
    int a, b;
    while (scanf("%d%d", &a, &b))
        printf("%d", gcd(a, b));
    return 0;
}