最大公约数（欧几里得算法和二进制算法）

欧几里得算法

原理

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。 
gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)；

证明过程

证明一：

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有

d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

d | b ， d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

证明二:

第一步：令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc

第二步：可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd,n=yd,(d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数≥cd，而非c，与前面结论矛盾】

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)，得证

知识点：a=mc，b=nc,如果m，n互质，则gcd（a,b）=c。

注意:两种方法是有区别的。

代码实现：

int gcd(int a,int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

二进制算法

 

介绍

二进制最大公约数算法避免了欧几里得算法（辗转相除法）的大量取模操作，有效减少了时间消耗，且更为方便。

原理

本算法基于以下事实：

对于两个数的最大公约数gcd(m, n)，有

m<n时，gcd(m, n)=gcd(n, m)

m偶n偶时，gcd(m, n)=2*gcd(m/2, n/2)

m偶n奇时，gcd(m, n)=gcd(m/2, n)

m奇n偶时，gcd(m, n)=gcd(m, n/2)

m奇n奇时，gcd(m, n)=gcd(n, m-n)

采用递归即可。

实现

inline int GCD(int x,int y)   
{
        int i,j;
        if(x==0) return y;
        if(y==0) return x;
        for(i=0;0==(x&1);++i)x>>=1;   // 去掉所有的2
        for(j=0;0==(y&1);++j)y>>=1;   // 去掉所有的2
        if(j<i) i=j;
        while(1){
                if(x<y)x^=y,y^=x,x^=y;   // 若 x < y 交换 x, y
                if(0==(x-=y)) return y<<i;  // 若x == y， gcd == x == y (就是在辗转减，while(1)控制)
                while(0==(x&1))x>>=1; // 去掉所有的2
        }
}