欧几里得算法求解最大公约数

这里主要要介绍的欧几里得算法，主要是用于求解两个整数的最大公约数的问题。
传统的求解方法是采用暴力枚举的方法，即枚举所有可能值取其最大。其算法描述如下：

给定两个整数a,b
c = min{a, b}
max = 0; // 保存最大公约数
for i:0->c
    if (a % i == 0) And (b % i == 0) // '%'表示取模运算
        if (max < i)
            max = i;
return max;

显然，暴力破解所花费的时间会随着两个整数的增大而上升，尤其是当超过10000000后，求解速度就不是很理想了。

接下来介绍的欧几里得算法可用于简化该问题求解的规模。
假设 $g$ 是两个整数 $a$ 和 $b$ 的公约数，即存在整数 $l$ 和 $m$，使得下列式成立

$$\begin{array}{l} a=g \cdot m \\ b=g \cdot l \end{array} \tag{1}$$
不妨假设 $a>b$，则有如下成立：
$$a=b \cdot k + r \tag{2}$$
其中 $r \equiv a \pmod {b}, k \in N$，即 $r$ 是 $a$ 除 $b$ 的余数
将 (1) 代入 (2) 可得：
$$g \cdot m = g \cdot l \cdot k + r \Rightarrow r = g \cdot(m - l \cdot k) \tag{3}$$
即 $r$ 可以整除 $g$
通过(1)、(2)、(3)可知， $g$ 同时是 $a,b,r$的公约数

那么，求解 $a,b$ 的最大公约数，是不是等价于求解 $b,r$ 的最大公约数呢？
接下来证明这个命题：
假设 $g$是 $a,b$ 的最大公约数，而$r,b$的最大公约数为 $g^*$，其中 $g^*>g$，即

$$\begin{array}{l} r = g^* \cdot n \\ b=g^* \cdot l^* \end{array} \tag{4}$$
将(4)代入(2)
$$a = g^* \cdot l^* \cdot k + g^* \cdot n^* \Rightarrow a = g^*(l^* \cdot k + n)$$
即
$$\begin{array}{l} a = g^*(l^* \cdot k + n) \\ b=g^* \cdot l^* \end{array} \tag{5}$$
由(5)可知， $g^*$也是 $a,b$的公约数。但之前假设 $g$ 是 $a,b$ 的最大公约数，而 $g^* > g$，所以这与条件相矛盾。故说明 求解 $a,b$ 的最大公约数等价于求解 $b,r$ 的最大公约数。

通过欧几里得算法，可以将求解 $a,b$ 的最大公约数转化为求解 $b,r$ 的最大公约数。注意到，该过程是可以重复的。其伪代码如下：

给定两个整数a,b // 假设 a > b > 0
while (r == 0) {
    r = a % b;
    a = b;
    b = r;
}
return a;