2. 最大公约数（欧几里得算法/辗转相除法）

最大公约数（Greatest Common Divisor）

引题：
输入两个自然数x、y，求它们的最大公约数。
对于两个整数x和y，如果x/d个y/余数都为0，则d称为x和y的公约数，其中最大的称为x和y的最大公约数（Greatest Common Divisor）。举个例子，35和14的最大公约数gcd(35,14)为7.因为35的约数为{1，5，7，35}，14的约数为{1，2，7，14}，二者的公约数{1，7}中最大的是7。

输入：输入x、y，用1个空格隔开，占1行。
输出：输出最大公约数，占1行。
限制： $1<=x,y<=10^9$
提示：对于整数x、y，如果x>=y，则x与y的最大公约数等于y与x%y的最大公约数。这里x%y表示x除以y之后的余数。
输入示例：147 105
输出实例：21

1. 初学者的思维：

将x和y中较小的一方用作n，让d从n自减至1，检查其是否能同时整除x和y，如果能返回当时的d。
伪代码：

gcd(x,y)
	n = (x与y中较小的一个)
	for d从n到1
		if d是x和y的约数
			return d

这个算法虽然能正确地输出结果，但最坏情况下要进行n次除法，无法在规定时间内处理完较大的数据。

2. 欧几里得算法（Euclidean algorithm，辗转相除法）

定理：当x>=y时，gcd(x,y)等于gcd(y,x除以y之后的余数)。
运用这条定理，可以快速求解x与y最大公约数的算法。

3. 定理证明

设d为a和b的公约数，则有：（l，m为常数）
$a=l * d$ ………………………………（1）
$b=m * d$ ………………………………（2）
设r=a%b，则有：（k为常数）
$a=k * b+r$ ……………………………（3）
将（1）（2）代入（3）得：
$l * d=k*m*d+r$
上式化简得：
$r=(l-k*m)*d$ ……………………（4）
所以由（4）易得：d为r的约数。
又由（2）易得：d为b的约数。
综上两点，易得：d为b和r的公约数。
即证明：a与b的公约数，与，b和r（r=a%b）的公约数相等。
因此，a和b的公约数集合等于b和r的公约数集合，二者的最大公约数自然也相等。

4. 举例and时间复杂度

74与54的最大公约数：
$gcd(74,54)\\=gcd(54,74\%54)=gcd(54,20)\\=gcd(20,54\%20)=gcd(20,14)\\=gcd(14,20\%14)=gcd(14,6)\\=gcd(6,14\%6)=gcd(6,2)\\=gcd(2,6\%2)=gcd(2,0)\\=2$
时间复杂度大致为O(logb)。

5. 用递归函数求最大公约数

#include <iostream>
using namespace std;

int gcd(int x,int y)
{
	return y ? gcd(y,x%y) : x;
}

int main()
{
	int a,b;
	cin >> a >> b;
	cout << gcd(a,b) << endl;
}

6. 用循环求最大公约数

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int gcd(int x,int y)
{
	int r;
	if(x<y) swap(x,y);//保证x>y
	while(y>0)
	{
		r = x%y;
		x = y;
		y = r;
	}
	return x;
}

int main()
{
	int a,b;
	cin >> a >> b;
	cout << gcd(a,b) << endl;
}