线性空间
线性空间的定义：设$V$是一个非空集合，$P$是一个数域。如果$V$满足如下两个条件：
(1). 在$V$中定义一个封闭的加法运算，即当$\bm{x,y}\in V$时，有唯一的和$\bm{x+y}\in V$，并且加法运算满足4条性质：
(2). 在$V$中定义一个封闭的数乘运算
这时，我们说$V$是数域$P$上的线性空间。
1.2
线性空间的概念是集合与运算二者的结合。
1.3
线性空间的基本性质
基，维数，与坐标
1.4
（1）对于式子：
$$\bm{x}=k_1\bm{x_1}+k_2 \bm{x_2}+\dots+k_r \bm{x_r} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.1.2)$$
如果$k_1,k_2,\dots k_r$不全为0，且$k_1\bm{x_1}+k_2 \bm{x_2}+\dots+k_r \bm{x_r}=0$,则称向量组$\bm{x_1},\bm{x_2},\dots \bm{x_r}$线性相关。否则线性无关。
（2）也就是说，如果公式（1.1.2）只有在$k_1=k_2=\dots=k_r=0$时成立，则称$\bm{x_1},\bm{x_2},\dots \bm{x_r}$线性无关。
1.5
基向量的定义
设$V$是数域$P$上的线性空间，$\bm{x_1},\bm{x_2},\dots \bm{x_n}(n\geq1)$是属于$V$的任意$n$个向量，如果它满足：
(1) $\bm{x_1},\bm{x_2},\dots \bm{x_n}$线性无关
(2) $V$中的任一向量$x$均可由$\bm{x_1},\bm{x_2},\dots \bm{x_n}$来线性表示;
则称$\bm{x_1},\bm{x_2},\dots \bm{x_n}$是$V$的一组基（或基底），并称$\bm{x_1},\bm{x_2},\dots \bm{x_n}$为基向量。