矩阵分析——线性空间

1.线性空间

设 $\rm V$是一个非空集合， $\rm F$是一个数域，在集合 $\rm V$的元素之间定义了加法运算和数乘运算，并且满足加法和数乘运算的封闭性。对于 $\rm V$中任意连个元素 $\alpha$与 $\beta$，加法运算满足下面四条法则：

1. (交换律) $\alpha +\beta=\beta +\alpha$
2. (结合律) $\alpha+(\beta+\xi)=(\alpha+\beta)+\xi$
3. (零元素)在 $\rm V$中有一个元素0（称作零元素），对于 $\rm V$中任意元素 $\alpha$都有 $\alpha+0=\alpha$
4. (负元素)对于 $\rm V$中每一个元素 $\alpha$,都有 $\rm V$中的元素 $\beta$，使得 $\alpha +\beta=0$

并且数乘运算满足一下四条运算法则：
  1. $\alpha=1\cdot\alpha$
  2. $k(l\alpha)=(kl)\alpha$
  3. $(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$
  4. $k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$
满足以上这些条件的集合 $\rm V$称为数域 $\rm F$上的线性空间

2.基与坐标变换

2.1 基

设数域 $\rm F$上的线性空间 $V$中有n 个线性无关向量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n，$而且 $\rm V$中任何一个向量 $\alpha$都可以 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$表示为：
$\alpha=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n$
则称 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$为 $\rm V$的一个基， $(k_1,k_2,\cdots,k_n)^{T}$为 $\alpha$在基 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$下的坐标。这是称 $\rm V$为n维线性空间，并记 $dimV=n$.

2.2 基变换与坐标变换

非零线性空间的基是不唯一的，一个向量在不同的基下的坐标也是不同的。设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$和 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$是 $V$中的两组基，他们的关系是：
$\beta_i=a_{1i}\alpha_1+a_{2i}\alpha_2+\cdots+a_{ni}\alpha_n =(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) \begin{pmatrix} a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{ni} \end{pmatrix}$
可以用矩阵表示
$(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{bmatrix}$
记以上的n阶方阵为 $P$,称其为由基 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$到 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$的过渡矩阵。
$P= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{bmatrix}$
注：过渡矩阵 $P$是可逆的。

坐标变换

设 $V$中任意一个向量 $\xi$在基 $(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$和 $(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)$下的坐标分别为 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)^{T}$和 $(y_1,y_2,\cdots,y_n)^{T}$，
$\xi=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ \cdots\\ x_n \end{pmatrix} \quad \xi=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n) \begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \\ \cdots\\ y_n \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ \cdots\\ x_n \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \\ \cdots\\ y_n \end{pmatrix}$
或者
$\begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \\ \cdots\\ y_n \end{pmatrix} =P^{-1} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ \cdots\\ x_n \end{pmatrix}$