牛客题 - 小国的复仇 （数学优化）

小国的复仇

题目链接：西安电子科技大学第16届程序设计竞赛网络同步赛 - 小国的复仇

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题意

​ 给你两个数a = 1,b = 1。你有两个操作可以选择，（1）a = a+b （2）b = a , a = a*2 。然后给你一个n，求如何经过最小的操作数，来达到 a = n；题目限制：n(n<=10^6)，T(T<=100000)

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思路一

​ 如果这个给的n和T不是那么大的话，就选择宽搜了，但是这种数据量明显只允许出现 O(logn) 或 O(1) 的算法。我就开始了找规律，如果因为操作二会改变b的值，在操作二以后，操作一也只能加上修改过的b的值了，所以我们不难得出，要执行操作二，必须要保证n是a的倍数，否则不能执行操作二，而且操作二的增长幅度很快，是指数级别的，我就想能不能先执行操作二，直到操作二无法进行时在执行操作一。但是这样的代码只过了50%的样例，所以显然有什么不对的地方。

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思路二

​ 果然，在我测试到9的时候，就发现了不对，原本的代码输出时8，但是如果先进行了两次操作一，再进行操作二，最后的结果就只需要4次了。我又开始考虑起了原来发现的规律，那就是一个n的操作数，一定是由一个n的因子的操作数经过变化得到，那么只需要得到它所有的因子，再进行例如DP一样的递推即可，但是这个操作会很复杂，我要先得到一个数的所有因子，这个就基本告吹了，在T= 1e5的情况下，百分百会炸。但在换一个角度来看又会不一样了，例如素数筛，基本可以访问每个因子的倍数，而且经过预处理后，只有1e6的数据量也不会炸的。

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代码一

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,j,k) for(int i = (int)(j);i <= (int)(k);i ++)
#define per(i,j,k) for(int i = (int)(j);i >= (int)(k);i --)

typedef long long ll;
const int MAXN = (int) 1e6+7;
const int INF = (int) 0x3f3f3f3f;
int dp[MAXN];
int bi[MAXN];

int an(int N,int i,int &e){
    int ans = 0;
    int a = i,b = bi[i];
    while (N % a == 0 && N >= 2*a){
        b = a;
        a *= 2;
        ans ++;
    }
    ans += (N-a)/b;
    e = b;
    return ans+dp[i];
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);

    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
    dp[1] = 0;
    dp[2] = 1;
    bi[1] = 1;
    int e;
    for (int i = 1;i < MAXN;i ++){
        for (int j = 2;j*i < MAXN;j ++){
            if (i != 1)Prime[j*i] = 1;
            int aaaa = an(i*j,i,e);
            if (dp[i*j] > aaaa){
                bi[i*j] = e;
                dp[i*j] = aaaa;
            }
        }
    }

    int T;
    cin >> T;
    while (T --){
        int n;
        cin >> n;
        cout << dp[n] << endl;
    }
}

代码二

//大神代码，思路非常清楚，筛法用起来比我要方便很多
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n,a[1000005];
int main(){
    memset(a,0x3f,sizeof(a));
    a[1]=0;
    for(int i=1; i<=1000000; ++i)
        for(int j=i; j+i<=1000000; j+=i)
            a[j+i]=min(a[j+i],a[i]+j/i);

    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        printf("%d\n",a[n]);
    }
}