牛客网 阶乘分解 （数学）

题目描述：

给定整数 N(1≤N≤10⁶)，试把阶乘 N! 分解质因数，按照算术基本定理的形式输出分解结果中的 $P_i$和$C_i$ 即可。
输入描述:
一个整数N。
输出描述:
N! 分解质因数后的结果，共若干行，每行一对$P_i$,$C_i$​，表示含有$P_i^{C_i}$​​项。按照$P_i$从小到大的顺序输出。
示例1
输入
5
输出
2 3
3 1
5 1
说明
5!=120=2³ *3*5
题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/1021/B
来源：牛客网

80分暴力解法：

1.因为N！=1*2*3*…*(N-1)*N，所以N！的质因子必然小于N。故只需要用线性筛获得[1,N]之间的素数表。不会素数线性筛的看这里->素数线性筛
2.对N的阶乘进行质因数分解转化为对[1,N]的每一个数进行质因数分解再将相同质因子的指数数累加即可。
3.依次用素数表中的质数对[2,N]区间的数i进行“试除”，直到i中不含质因子。

#include<cstdio>
const int maxn=1e6+20;
int vis[maxn];
int primes[maxn];   / /素数表
int counts[maxn];  / /统计素数个数，counts[i]表示primes[i]的个数
void get_primes(int n){
    
      / /线性素数筛获得素数表
int cnt=0;  
for(int i=2;i<=n;i++){
    
    
if(vis[i]==0){
    
    primes[cnt]=i;cnt++;}   
 for(int j=0;j<cnt;j++){
    
    
 if(i*primes[j]>n) break;
 vis[i*primes[j]]=1;
 if(i%primes[j]==0) break;   
 }      
}   
}
int main(){
    
    
int N;
scanf("%d",&N);
get_primes(N);
for(int i=2;i<=N;i++){
    
    
int t=i;     
int cnt=0;   
while(t>1){
    
     / /注意t为1的时候就没有质因子了 
if(t%primes[cnt]==0){
    
     / /primes[cnt]是当前i(用t先代替)的质因子，则统计次数，并将i除去因子primes[i]
counts[cnt]++;
t=t/primes[cnt];
}
else cnt++; / /primes[cnt]不是当前i 的因子，则换另一个质数试探   
}
}
int i=0; 
while(counts[i]>=1){
    
     / /输出素数及对应的个数
printf("%d %d\n",primes[i],counts[i]);    
i++;  
}   
return 0;   
}

以上代码中的“试除”部分效率过低，无法AC。

正解

其实此处涉及到一个数论知识：

• N！中质因子p的个数为：$\lfloor \frac{N}{p}\rfloor$+$\lfloor \frac{N}{p^2}\rfloor$+$\lfloor \frac{N}{p^3}\rfloor$+…+$\lfloor \frac{N}{p\lfloor {\log }_{N}P\rfloor }\rfloor$。即1~N之间的数中含有因子p的数有$\lfloor \frac{N}{p}\rfloor$个，含有因子p²的数有$\lfloor \frac{N}{p^2}\rfloor$…
• 注意：$\lfloor \frac{N}{p^i}\rfloor$指的是1~N中含有因子$p^i$的数的个数，例如N=10、p=2时，$\lfloor \frac{N}{p}\rfloor$=$\lfloor \frac{10}{2}\rfloor$=5，即 1~10之间含有因子2的数有5个：2、4、6、8、10。$\lfloor \frac{N}{p^2}\rfloor$=$\lfloor \frac{10}{4}\rfloor$=2,含有4为因子的数有2个：4、8。
• 一张可能有助于理解的图：
  

AC代码：

/ /AC代码：
#include<cstdio>
const int maxn=1e6+20;
int vis[maxn];
int primes[maxn];
int get_primes(int n){
    
    / /得到1~N之间的素数表，并返回素数个数
int cnt=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
    
    
if(vis[i]==0){
    
    primes[cnt]=i;cnt++;}    
 for(int j=0;j<cnt;j++){
    
    
 if(i*primes[j]>n) break;
 vis[i*primes[j]]=1;    
 if(i%primes[j]==0) break; 
 }       
 }
return  cnt;
}
int main(){
    
    
int N;
scanf("%d",&N);
int cnt=get_primes(N);
for(int i=0;i<cnt;i++){
    
     
int p=primes[i],n=N,c=0; / /用c统计当前质数P的个数
while(n){
    
      / /直到n/p为0，即n除p向下取整为0
 c+=n/p;   
 n=n/p;    
}
if(c!=0) printf("%d %d\n",primes[i],c);    
} 
return 0;    
}