矩阵相乘的前提条件是：乘号前的矩阵的列数要和乘号后的矩阵的行数相等。且矩阵的乘法运算没有交换律，即 A*B 和 B*A 是不一样的。
例如，矩阵A：
矩阵B：
由于矩阵 A 的列数和矩阵 B 的行数相等，可以进行 A*B 运算（不能进行 B*A 运算）。计算方法是：用矩阵A的第 i 行和矩阵B中的每一列 j 对应的数值做乘法运算，乘积一一相加，所得结果即为矩阵 C 中第 i 行第 j 列的值。
得到的乘积矩阵C为：
例如：C
12 = 6 是因为：A
11*B
12 + A
12*B
22 + A
13*B
32 + A
14*B
42，即 3*2 + 0*0 + 0*4 + 5*0 = 6 ，因为这是 A 的第 1 行和 B 的第 2 列的乘积和，所以结果放在 C 的第 1 行第 2 列的位置。
例如，A是 m1*n1 矩阵，B是 m2*n2 矩阵(前提必须是 n1 == m2 )：
int C[MAX][MAX];
for (int i=0; i<m1; i++)
{ for (int j=0; j<n2; j++)
{ C[i][j]=0; for (int k=0; k<n1; k++)
{ C[i][j]+=A[i][k]*B[k][j]; } } }
O(m1*n2*n1)。
在稀疏矩阵做乘法运算时，由于本身矩阵中含有的非 0 元素少，普通算法会出现很多 0*0 或者 k*0 或者 0*k （ k 代表非 0 元素值）的情况。下面介绍使用行逻辑链接的顺序表计算矩阵乘积的方法。
行逻辑链接的顺序表解决矩阵乘积算法
对矩阵的乘积进行深度剖析，矩阵 A 和矩阵 B 相乘的运算过程是这样的：- 首先，找到矩阵 A 中第一行的非 0 元素，分别是 A11 = 3和 A14 = 5；（由于行逻辑链接的顺序表中存储的都是非 0 元素，查找的过程就需要使用记录每行第一个非 0 元素的首地址的数组来完成）
- 用 3 去和 B 中对应的第一行中的非 0 元素相乘，矩阵 B 中第一行非 0 元素是 B12 = 2，所以 3*2 = 6 ，因为 6 是 A11 和 B12 相乘的结果，所以暂时存放在 C12 中；用 5 去和 B 中对应的第 4 行的非 0 元素相乘，由于矩阵 B 中第 4 行没有非 0 元素，所以，第一行的计算结束；
- 以此类推。
攻克问题难点
现在，解决问题的关键在于，如何知道顺序表中存放的非0元素是哪一行的呢？解决方案：由于使用的是行逻辑链接的顺序表，所以，已经知道了每一个矩阵中的每一行有多少个非0元素，而且第一行的第一个非0元素的位置一定是1。
所以，第 n 行的非0元素的位置范围是：大于或等于第 n 行第一个元素的位置， 小于第 n+1 行第一个元素的位置（如果是矩阵的最后一行， 小于矩阵中非 0 元素的个数 + 1）。
具体实现代码
#include <stdio.h> #define MAXSIZE 12500 #define MAXRC 100 #define ElemType int
typedef struct { int i,j; //行，列 ElemType e; //元素值 }Triple;
typedef struct { Triple data[MAXSIZE+1]; int rpos[MAXRC+1]; //每行第一个非零元素在data数组中的位置 int mu, nu, tu; //行数，列数，元素个数 }RLSMatrix;
RLSMatrix MultSMatrix(RLSMatrix A, RLSMatrix B, RLSMatrix C) { //如果矩阵A的列数与矩阵B的行数不等，则不能做矩阵乘运算 if(A.nu != B.mu) return C; C.mu = A.mu; C.nu = B.nu; C.tu = 0; //如果其中任意矩阵的元素个数为零，做乘法元素没有意义，全是0 if(A.tu * B.tu == 0) return C; else { int arow; int ccol; //遍历矩阵A的每一行 for(arow=1; arow<=A.mu; arow++) { //创建一个临时存储乘积结果的数组，且初始化为0，遍历每次都需要清空 int ctemp[MAXRC+1] = {}; C.rpos[arow] = C.tu + 1; //根据行数，在三元组表中找到该行所有的非0元素的位置 int tp; if(arow < A.mu) tp = A.rpos[arow+1];//获取矩阵A的下一行第一个非零元素在data数组中位置 else tp = A.tu+1;//若当前行是最后一行，则取最后一个元素+1 int p; int brow; //遍历当前行的所有的非0元素 for(p=A.rpos[arow]; p<tp; p++) { brow = A.data[p].j; //取该非0元素的列数，便于去B中找对应的做乘积的非0元素 int t; // 判断如果对于A中非0元素，找到矩阵B中做乘法的那一行中的所有的非0元素 if(brow < B.mu) t = B.rpos[brow+1]; else t = B.tu+1; int q; //遍历找到的对应的非0元素，开始做乘积运算 for(q=B.rpos[brow]; q<t; q++) { //得到的乘积结果，每次和ctemp数组中相应位置的数值做加和运算 ccol = B.data[q].j; ctemp[ccol] += A.data[p].e * B.data[q].e; } }
//矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数，所以，得到的ctemp存储的结果，也会在C的列数的范围内 for(ccol=1; ccol<=C.nu; ccol++) { //由于结果可以是0，而0不需要存储，所以在这里需要判断 if(ctemp[ccol]) { //不为0，则记录矩阵中非0元素的个数的变量tu要+1；且该值不能超过存放三元素数组的空间大小 if(++C.tu > MAXSIZE) return C; else
{ C.data[C.tu].e = ctemp[ccol]; C.data[C.tu].i = arow; C.data[C.tu].j = ccol; } } } }
return C; } }
int main(int argc, char *argv[]) { RLSMatrix M, N, T; M.tu = 4; M.mu = 3; M.nu = 4; M.rpos[1] = 1; M.rpos[2] = 3; M.rpos[3] = 4; M.data[1].e = 3; M.data[1].i = 1; M.data[1].j = 1; M.data[2].e = 5; M.data[2].i = 1; M.data[2].j = 4; M.data[3].e = -1; M.data[3].i = 2; M.data[3].j = 2; M.data[4].e = 2; M.data[4].i = 3; M.data[4].j = 1; N.tu = 4; N.mu = 4; N.nu = 2; N.rpos[1] = 1; N.rpos[2] = 2; N.rpos[3] = 3; N.rpos[4] = 5; N.data[1].e = 2; N.data[1].i = 1; N.data[1].j = 2; N.data[2].e = 1; N.data[2].i = 2; N.data[2].j = 1; N.data[3].e = -2; N.data[3].i = 3; N.data[3].j = 1; N.data[4].e = 4; N.data[4].i = 3; N.data[4].j = 2; T= MultSMatrix(M, N, T); for (int i=1; i<=T.tu; i++)
{ printf("(%d,%d,%d)\n",T.data[i].i,T.data[i].j,T.data[i].e); }
return 0; } 输出结果： (1,2,6) (2,1,-1) (3,2,4)
总结
当稀疏矩阵 A mn 和稀疏矩阵 B np 采用行逻辑链接的顺序表做乘法运算时，在矩阵 A 的列数（矩阵 B 的行数） n 不是很大的情况下，算法的时间复杂度相当于O(m*p)，比普通算法要快很多。