转置矩阵及对称矩阵

转置矩阵

内积具有重要意义，那么如何计算变换后两个向量的内积呢？

向量 $\mathbf{v},\mathbf{w}$ 经变换矩阵 $A$ 变换为向量 $A\mathbf{v},A\mathbf{w}$ ，内积按矩阵乘法计算，就是向量 $A\mathbf{v}$ 对应的行向量和向量 $A\mathbf{w}$ 的乘积。如何表示向量 $A\mathbf{v}$ 对应的行向量呢？

行向量就是向量旋转，数值和向量 $A\mathbf{v}$ 一样。向量 $A\mathbf{v}$ 是向量组的线性组合，那行向量也是其线性组合，只是旋转了，所以行向量可以表示为：把矩阵 $A$ 的列向量旋转为行向量，然后求线性组合。所以需要定义一种操作，把矩阵的列向量旋转为行向量，这就是矩阵转置。

定义 转置矩阵 把矩阵 $A$ 的第 $i$ 个列向量旋转为第 $i$ 个行向量，得到一个新矩阵，叫做 $A$ 的转置矩阵，记作 $A^T$ 。

例如矩阵
$A = \left[ \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] \qquad A^T = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \end{matrix} \right]$
所以列向量 $\mathbf{v}$ 转置就是行向量 $\mathbf{v^T}$ ，行向量是列向量的转置。

重要性质 $(A\mathbf{v})^T = \mathbf{v^T}A^T$ 。

变换向量的内积为
$(A\mathbf{v},A\mathbf{w}) = (A\mathbf{v})^T(A\mathbf{w}) = \mathbf{v^T}A^TA\mathbf{w}=\mathbf{v^T}(A^TA)\mathbf{w}$

上式是四个矩阵相乘，结果是个数，大家一定要习惯矩阵表达式。

矩阵乘积 $A^TA$ 很重要，我们来计算下
$A = \left[ \mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\cdots,\mathbf{a_n}\right] \quad A^T = \left[ \begin{matrix} \mathbf{a^T_{1}} \\ \mathbf{a^T_{2}} \\ \vdots \\ \mathbf{a^T_{n}} \end{matrix} \right] \\ A^TA= \left[ \begin{matrix} \mathbf{a^T_{1}}\mathbf{a_1} & \mathbf{a^T_{1}}\mathbf{a_2} \cdots, \mathbf{a^T_{1}}\mathbf{a_n}\\ \vdots \\ \mathbf{a^T_{n}}\mathbf{a_1} & \mathbf{a^T_{n}}\mathbf{a_2} \cdots, \mathbf{a^T_{n}}\mathbf{a_n} \end{matrix} \right]$
矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列的数值是矩阵 $A$ 的第 $i$ 个列向量与矩阵 $A$ 的第 $j$ 个列向量的内积。对任意矩阵 $A_{mn}$， $A^TA$ 是 $n$ 阶方阵。

另一个与矩阵 $A$ 密切相关的矩阵是 $AA^T$ ，我们来计算下
$AA^T = \mathbf{a_1}\mathbf{a^T_{1}}+\mathbf{a_2}\mathbf{a^T_{2}}+\cdots+\mathbf{a_n}\mathbf{a^T_{n}}$
是 $n$ 个简单矩阵之和，每个简单矩阵是矩阵 $A$ 的列向量与列向量的外积。 $AA^T$ 是 $m$ 阶方阵。

矩阵转置也可以看作一种运算，满足如下性质
$(A^T)^T=A \\ (A+B)^T=A^T+B^T \\ (\lambda A)^T=\lambda A^T \\ (AB)^T=B^TA^T$
前3个很明显，证最后一个。

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证：根据 $(A\mathbf{v})^T = \mathbf{v^T}A^T$ ， $\mathbf{v}$ 取矩阵 $B$ 的每个列向量时得 $(A\mathbf{b_1})^T = \mathbf{b^T_1}A^T ,\cdots ,(A\mathbf{b_n})^T =\mathbf{b^T_n}A^T$ ，合成矩阵形式即得。

方阵 $A^TA$ 的转置矩阵是 $(A^TA)^T = A^T((A^T)^T)=A^TA$ ，等于自身。

定义 对称矩阵 设 $S$ 为 $n$ 阶方阵，如果满足 $S^T = S$ ，那么 $S$ 称为对称矩阵，简称对称阵。

对称矩阵具有十分重要的地位，专门用大写字母 $S$ 表示对称阵。

方阵 $AA^T$ 也是对称矩阵。

对称矩阵的特点是，第 $i$ 个列向量数值上等于第 $i$ 个行向量。下面两个矩阵都是对称阵。
$S = \left[ \begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} \right] \qquad S = \left[ \begin{matrix} 1 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 6 \\ 5 & 6 & 3 \end{matrix} \right]$
排成表格时，数值以对角线为对称轴对应相等，所以称为对称矩阵。

内积和矩阵转置还有一个重要性质，
$(\mathbf{v},A\mathbf{w})=\mathbf{v^T}(A\mathbf{w}) ＝ (\mathbf{v^T}A)\mathbf{w} ＝ (A^T\mathbf{v})^T\mathbf{w}=(A^T\mathbf{v},\mathbf{w})$

向量 $\mathbf{v}$ 与向量 $\mathbf{w}$ 的变换向量（变换矩阵为 $A$ ）的内积等于向量 $\mathbf{v}$ 的变换向量（变换矩阵为 $A^T$ ）与向量 $\mathbf{w}$ 的内积。当变换矩阵是对称阵时，
$(\mathbf{v},S\mathbf{w})=\mathbf{v^T}S\mathbf{w}=(S\mathbf{v},\mathbf{w})$

公式中矩阵 $S$ 处于对称位置，故称对称矩阵。