设$f$是有限开区间$(a,b)$上凸函数，并且在该区间上有界，证明$\lim\limits_{x→a^{+}}f(x)$和$\lim\limits_{x→b^{-}}f(x)$存在
设$x∈(a,b)$时,$f(x)≤M$，$x＞x_{1}＞x_{0}$为$(a,b)$内任意三点，根据$f(x)$凸性，当$x$单调递增时，$$\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$$单调递增
又因为$$\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}≤\frac{M-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}$$
根据单调有界准则，有极限
$$\lim\limits_{x→b^{-}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=A$$
从而$$\lim\limits_{x→b^{-}}f(x)=A(b-x_{0})-f(x_{0})$$存在 同理可证$\lim\limits_{x→a^{+}}f(x)$存在