1、回顾特征值和特征向量
我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下:
Ax=λx
其中A是一个n×n的实对称矩阵,x是一个n维向量,则我们说λ是矩阵A的一个特征值,而x是矩阵A的特征值λ所对应的特征向量。
求出特征值和特征向量有什么好处呢? 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n个特征值λ1≤λ2≤…≤λn,以及这n个特征值所对应的特征向量{w1,w2,…wn},,如果这n个特征向量线性无关,那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示:
其中W是这n个特征向量所张成的n×n维矩阵,而Σ为这n个特征值为主对角线的n×n维矩阵。
一般我们会把W的这n个特征向量标准化,即满足
, 或者说
,此时W的n个特征向量为标准正交基,满足
,即
, 也就是说W为酉矩阵。
这样我们的特征分解表达式可以写成
注意到要进行特征分解,矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵,即行和列不相同时,我们还可以对矩阵进行分解吗?答案是可以,此时我们的SVD登场了。
2、SVD的定义
SVD也是对矩阵进行分解,但是和特征分解不同,SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×n的矩阵,那么我们定义矩阵A的SVD为:
其中U是一个m×m的矩阵,Σ是一个m×n的矩阵,除了主对角线上的元素以外全为0,主对角线上的每个元素都称为奇异值,V是一个n×n的矩阵。U和V都是酉矩阵,即满足
。下图可以很形象的看出上面SVD的定义:
那么我们如何求出SVD分解后的U,Σ,V这三个矩阵呢?
如果我们将A的转置和A做矩阵乘法,那么会得到n×n的一个方阵
。既然
是方阵,那么我们就可以进行特征分解,得到的特征值和特征向量满足下式:
这样我们就可以得到矩阵ATA的n个特征值和对应的n个特征向量v了。将ATA的所有特征向量张成一个n×n的矩阵V,就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。
如果我们将A和A的转置做矩阵乘法,那么会得到m×m的一个方阵
。既然
是方阵,那么我们就可以进行特征分解,得到的特征值和特征向量满足下式:
这样我们就可以得到矩阵
的m个特征值和对应的m个特征向量u了。将AAT的所有特征向量张成一个m×m的矩阵U,就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。
U和V我们都求出来了,现在就剩下奇异值矩阵Σ没有求出了。由于Σ除了对角线上是奇异值其他位置都是0,那我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。
我们注意到:
这样我们可以求出我们的每个奇异值,进而求出奇异值矩阵Σ。
上面还有一个问题没有讲,就是我们说ATA的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵,而AAT的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵,这有什么根据吗?这个其实很容易证明,我们以V矩阵的证明为例。
上式证明使用了:
。可以看出ATA的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到AAT的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。
(因为
能够构成
,所以
特征向量组成的矩阵就是V。)
进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方,也就是说特征值和奇异值满足如下关系:
这样也就是说,我们可以不用
来计算奇异值,也可以通过求出ATA的特征值取平方根来求奇异值。
3、SVD计算举例