【香蕉OI】游戏（SG函数）

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题意

初始只有一张 $n*m(2\le n,m\le 200)$ 的纸片，每次可以选一张已有的纸片横切一刀（变成 $n*i$ 的一片加上 $n*(m-i)$ 的一片）或者竖切一刀（变成 $i*m$ 的一片和 $(n-i)*m$ 的一片）得到两张纸片。

最先得到 $1*1$ 的纸片的人获胜。

多组询问，给定初始纸片大小，求先手是否有必胜策略。

思路

简单博弈论。 但是考场上没有想出来。

发现这题与一般SG函数能处理的问题不同的点在于：他只要有一张 $1*1$ 就算获胜，也就是只要一个子游戏无法进行就算结束；而不是所有纸片都变成 $1*1$ 才结束，即要求把所有游戏都无法进行才算结束。

但是假如我们把 $2*2$ 、 $2*3$ 、 $3*3$ 的纸片看成初始的必败态，情况就不一样了。首先我们排除 $1*n(n > 1)$ 的纸片，因为切出这种纸片必然导致自己的失败。然后发现对于一个上述三种初始必败的纸片，只要有人先对他下手了，那后手必胜，而游戏结束的条件就不是 “先得到一张 $2*2$ 或 $2*3$ 或 $3*3$ 的人赢”，而是 “将所有纸片都变成上述三种纸片的人赢” 。这就是一个正常的SG函数了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 200 + 10;
int n = 200, sg[N][N], x, y;
bool tmp[N*2];

void init(int x, int y)
{
	memset(tmp, 0, sizeof(tmp));
	for (int i = 2; i <= x-2; ++ i)
		tmp[sg[i][y]^sg[x-i][y]] = 1;
	for (int i = 2; i <= y-2; ++ i)
		tmp[sg[x][i]^sg[x][y-i]] = 1;
	for (int i = 0; i < (N<<1); ++ i)
		if (!tmp[i]){
			sg[x][y] = i;
			break;
		}
}

int main()
{
	for (int i = 2; i <= n; ++ i)
		for (int j = 2; j <= n; ++ j)
			init(i, j);
	while(scanf("%d%d", &x, &y) == 2)
		puts(sg[x][y] ? "WIN" : "LOSE");
	return 0;
}