引子
考虑下面一个问题：
给出N堆石子。A 和 B 轮流操作，A 先手。操作者在每一轮中必须取走一堆石子中的任意数量个石子（不能不取）。取完最后一个石子的人胜利。求谁胜。
SG函数
对于每一堆石子，我们可设SG(i)=mex({SG(j)})，其中j为i的一种转移，而mex表示集合中最小没有出现过的自然数。设边界条件SG(0)=0。这样的话，SG(x)=x，且当SG(x)为0时，x为必败态P-position（即先手必败），否则为必胜态N-position（因为只有一堆）。
那么对于多堆呢？难道我们要用SG(i)中的i去表示一种场面，也即由多堆石子构成的一个集合吗？这样转移起来显然复杂度堪忧。
SG定理
这时我们就需要用到：Sprague-Grundy定理（SG定理）：
游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之，从而简化了问题。
那么对于这个问题，SG(X)（X为一个集合）=SG(x1)^SG(x2)^SG(x3)^…^SG(xn)（xi∈X）。其实这个结论我以前就知道，只不过不会证明。
但这个定理的证明却也不复杂，基本上就是按照两种position的证明来的。
根据定义，证明一种判断position的性质的方法的正确性，只需证明三个命题： 1、这个判断将所有无法进行任何移动的局面（也就是terminal position）判为P-position；2、根据这个判断被判为N-position的局面一定可以移动到某个P-position；3、根据这个判断被判为P-position的局面无法移动到某个P-position。
对于第一个命题，treminal position肯定是{0,0,0,…,0}，那么异或和肯定也为0。
对于第二个命题，N-position即为异或和不为0的状态，设它的异或和为S，那么若x为S在二进制下的最高位，则肯定有一堆石子的数量≥
（不然它那个x怎么来的），设这堆的数量为x1。又因为x1＞S^x1，所以我们先把x1拎出来，使S变成两个子状态x1和S^x1，再将x1取剩S^x1，然后再合并为0。举例来说，若S为
，x1为
，则S^x1为
，将x1取剩S^x1后，S则为
。
对于第三个命题，你取石子肯定会改变它的异或和，所以你没办法把异或和从0变成0。
nim游戏
那么，nim游戏又是什么呢？
Nim游戏是博弈论中最经典的模型，它又有着十分简单的规则和无比优美的结论
Nim游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一种，准确来说，属于“Impartial Combinatorial Games”（以下简称ICG）。满足以下条件的游戏是ICG（可能不太严谨）：1、有两名选手；2、两名选手交替对游戏进行移动(move)，每次一步，选手可以在（一般而言）有限的合法移动集合中任选一种进行移动；3、对于游戏的任何一种可能的局面，合法的移动集合只取决于这个局面本身，不取决于轮到哪名选手操作、以前的任何操作、骰子的点数或者其它什么因素； 4、如果轮到某名选手移动，且这个局面的合法的移动集合为空（也就是说此时无法进行移动），则这名选手负。根据这个定义，很多日常的游戏并非ICG。例如象棋就不满足条件3，因为红方只能移动红子，黑方只能移动黑子，合法的移动集合取决于轮到哪名选手操作。
阶梯nim游戏
阶梯nim游戏有一个经典的模型：给出N级阶梯，每级阶梯上有若干个石子，两人轮流操作。操作是将某一阶梯上的石子移任意数量个到下一级阶梯。先将所有石子移至第0层的人获胜。求先手是否必胜。
这种问题的SG值其实就等于奇数层的石子数的异或和。即SG=SG(1)^SG(3)^SG(5)^…^SG(n)。SG=0先手必败，否则先手必胜。
这是为什么呢？
因为如果先手将偶数层的石子移到了奇数层，后手则可以将同等数量的石子从那个奇数层移到下一级偶数层（反正最低的第0层是偶数层）。这样，SG值并不会变化，所以相当于先手没有操作。而且假如后手有更优的走法，它不随着先手移，那么先手反而会将胜利让给后手。也就是说，先手这样操作，后手的利≥先手的利。
那么，如果先手将奇数层的石子移到偶数层，即可类比成普通的取石子游戏：将某一堆石子取走若干个。因为我们总是可以从奇数层移到偶数层的，只要某个奇数层有石子；也就相当于在普通的取石子游戏中，我们总是可以取走石子的，只要某一堆还有石子。
例题
我其实没有做过多少这种题。。。
【JZOJ4024】【佛山市选2015】石子游戏 这道题是SG函数，需要一点转化，初学者（比如博主）可能比较难想到。
【JZOJ4178】【NOI2015模拟YDC】游戏 这道题是阶梯nim，也需要一些转化。