尼姆游戏（SG函数解决变形）

题意：
给定$n$个石子堆，每堆有$a_i$个石子（$a_i>0$），每次可以选择一堆石子，从这堆石子中选择任意多的石子。两者皆采取最优策略，问什么状态下先手必败，什么状态下先手必胜。

题解：
经典尼姆游戏。
当$a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus ...\oplus a_{n-1}\oplus a_n=0$，先手必败。
当$a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus ...\oplus a_{n-1}\oplus a_n\ne 0$，先手必胜。

证明：定义$sum=a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus ...\oplus a_{n-1}\oplus a_n$。
终态一定是所有石子堆的石子个数都为$0$，即$sum=0$时。

这里推测：

• $sum=0$时，先手必败
• $sum\ne 0$时，先手必胜

证明：
考虑先手处于必胜态时，此时$sum\ne 0$，那么先手必然要拿掉一些石子使得后手面临必败态，即先手拿掉一些石子后使得$sum=0$。
这里令被操作的石子堆是第$i$堆，操作前的剩余$n-1$堆石子异或值为$H=sum\oplus a_i$，若将第$i$堆石子数量降至$H$，则$H\oplus H=0$，此时后手将面临必败态。

问题转化为了寻找一个$a_i$，使得$a_i>H$。
这里对于$sum$的二进制最高位$k$，必然也是一个数$a_i$的二进制最高位，那么选择该$a_i$，$H$必然比$a_i$小，因此必然存在这样一个数使得$a_i>H$。
证毕。

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以上是对于经典尼姆游戏的证明。
那么若限制每次拿石子的个数为指定集合中的任意一个数，如何解决判断必败态和必胜态。

考虑$SG$函数的构造。（具体的$SG$函数介绍省略。）

直接给出结论：
令$sum=SG(a_1)\oplus SG(a_2)\oplus SG(a_3)\oplus ...\oplus SG(a_{n-1})\oplus SG(a_n)$
这里仍然推测：

• $sum=0$时，先手必败
• $sum\ne 0$时，先手必胜

考虑到$SG$函数的定义，$SG(a_i)$可以到达任意小于$SG(a_i)$，即上一个模型，证明与尼姆游戏的普通版本一样。问题转化为了如何求解$SG$函数。

给出一个以$fib$数列作为可取石子的个数集合的$SG$函数的模板：$hdu1848.$

int fib[17] = {
    
    0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987};
int sg(int x) {
    
    
    if(~f[x]) return f[x];
    
    bool jud[M]; //M指的是需要的最大sg参数
    memset(jud, false, sizeof jud);
    for(int i = 1; i <= 15 && x >= fib[i]; ++i) jud[sg(x - fib[i])] = true;
    for(int i = 0; ; ++i) if(!jud[i]) return f[x] = i;
}