$Luogu$ $P4745$ $[CERC2017]$ $Gambling$ $Guide$

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背景

\(Central\) \(Europe\) \(Regional\) \(Contest\) \(G\) 题， \(Luogu\) \(P4745/BZOJ5197/Gym101620G\) （ \(Google\) \(Chrome\) 与原题面更配哦！）

题意

给定一张 \(n\) 个点， \(m\) 条边的无边权的无向图。有一人从 \(1\) 号点出发，可以随机向一个和当前直接相连的点走去，花费 \(1\) 的代价；也可以不动，重新随机一个点，也花费 \(1\) 的代价。求到达 \(n\) 点时的最小总花费。答案四舍五入保留 \(6\) 位小数。

解法

根据之前总结过的期望dp的设计方法，因为只有一个终点，且状态已知（期望花费为 \(0\) ），因此考虑逆推。自然地，设 \(f_x\) 表示点 \(x\) 到终点的期望花费。用 \(E\) 表示边集， \(deg_x\) 表示 \(x\) 点的度数，则有 \(f_x=\frac{ \sum_\limits{(x,y) \in E} \min \{ f_x,f_y \} }{deg_x}+1\) 。
那么，对于一个点 \(x\) 来说，能对它的期望产生贡献的相邻的点 \(y\) 必然有 \(f_y<f_x\) 。一开始不妨令所有的 \(x\) 点在计算 $ \min { f_x,f_y }$ 时都为 \(f_x\) （下文会证明确实只会出现这种情况）。
假设这样的 \(y\) 点有 \(cnt_x\) 个，则有 \(f_x=\frac{ \sum_\limits{(x,y) \in E,f_y<f_x} f_y}{deg_x}+ \frac{(deg_x-cnt_x) \times f_x}{deg_x}+1=\frac{ \sum_\limits{(x,y) \in E,f_y<f_x} f_y}{deg_x}+(1- \frac{cnt_x}{deg_x} ) \times f_x+1\) 。
因此，果断求出 $ \sum_\limits{(x,y) \in E,f_y<f_x} f_y $ ，记为 \(sum_x\) ，则 \(f_x=\frac{sum_x}{deg_x}+(1- \frac{cnt_x}{deg_x} ) \times f_x+1\) ，化简得 \(f_x= \frac{deg_x+sum_x}{cnt_x}\) 。
也就是说，只要相连的 \(x,y\) 两点满足 \(f_y<f_x\) ，我们就可以利用 \(f_y\) 来更新 \(f_x\) 的值。是不是很像堆优化的 \(dijkstra\) 的松弛操作呢？时间复杂度与堆优化的 \(dijkstra\) 相同，为 \(O((m+n)logn)\) 。

\(trick\)

\(1.\) 利用 \(f_y\) 来更新 \(f_x\) 的值的算法正确性证明：
设更新后的 \(x\) 点的 \(f\) 值为 \(f_x'\) ， \(f_x-f_y=\Delta\) （显然 \(\Delta>0\) ）。由上文推出的式子得 \(f_x= \frac{deg_x+sum_x}{cnt_x}\) ，更新后有 \(f_x'= \frac{deg_x+sum_x+f_y}{cnt_x+1}\) ，两者相减并化简得 \(f_x-f_x'=\frac{\Delta}{cnt_x+1}\) ，则 \(f_x-f_x'=\frac{f_x-f_y}{cnt_x+1}\) ，即 \(0<f_x-f_x'<f_x-f_y\) ，也即 \(f_x>f_x'>f_y\) 。
因此每一次松弛操作不会使得 \(f_x\) 变大，也不会使得其小于 \(f_y\) 。证毕。

\(2.\) 一个非常用不经典套路：对于确定的初始状态仅有极少数（大多数时候仅有一个），其余的状态与相邻的部分（大多数时候是相邻的点）有关的dp，考虑（放到图上）以最短路的方式进行转移。

细节

\(1.\) 请注意堆的第一维数据类型是 \(double\) 。

\(2.\) 请注意本题是无向图，要双向建边、双向记度数。

\(3.\) 请特别注意标记数组的使用和判断：每个点在自己更新完所有的点后就不能再被更新（因为此时已经是能达到的最小的值了）。

代码

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//省略头文件
using namespace std;
inline int read()
{
    int ret=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        ret=(ret<<1)+(ret<<3)+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return ret*f;
}
int n,m,u,v,w;
int num,head[600005],deg[300005],cnt[300005];
double f[300005],sum[300005];
bool vis[300005];
priority_queue
   
   
    
     > q;
struct edge
{
    int ver,nxt;
}e[600005];
inline void adde(int u,int v)
{
    e[++num].ver=v;
    e[num].nxt=head[u];
    head[u]=num;
}
inline void dijkstra()
{
    q.push(make_pair(0,n));
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.top().second;
        q.pop();
        if(vis[x])
            continue;
        vis[x]=1;
        for(register int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
        {
            int y=e[i].ver;
            if(vis[y])
                continue;
            cnt[y]++;
            sum[y]+=f[x];
            f[y]=(deg[y]+sum[y])/cnt[y];
            q.push(make_pair(-f[y],y));
        }
    }
}
int main()
{
    n=read();
    m=read();
    for(register int i=1;i<=m;i++)
    {
        u=read();
        v=read();
        adde(u,v);
        adde(v,u);
        deg[u]++;
        deg[v]++;
    }
    dijkstra();
    printf("%0.7lf\n",f[1]);
    return 0;
}