错排问题
简单来说，错排问题就是问有多少个长度为\(n\)的排列\(p\)，使得对于所有的\(i\in [1,n]\)都有\(i \neq p_i\)。
递推式
错排的一个递推式就是\(f(n)=n(f(n-1)+f(n-2))\)
这个递推式复杂度显然是线性的。
关于这个递推式的推导请自行百度。这里不再赘述。
容斥法解错排问题
第一次看到错排问题的时候，并没有推导出上面的递推式。而是用了一种容斥的方法。自认为更加简单易懂吧。
既然是每个数字都不能放在对应的位置。那么按照容斥的一般套路，我们强制有\(i\)个数字放在了对应位置。其他数字不管他。显然这\(i\)个数字有\(C(_n^i)\)种方案。其他数字有\((n-i)!\)种排列方式。
所以式子就很显然了:
\[f(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^iC(_n^i)(n-i)! \\ =\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\frac{n!}{i!}\]
复杂度同样也是线性的。
其实可以发现，用容斥继续推下去的话，依然可以推出上面的递推式。所以这两种解法本质上是等价的。