容斥原理用于解决有交集的集合的组合问题
其实这种思想很多人不用学便以及在运用了, 很简单的一个东西
举个例子 :
有三个集合 : 棕,红,黄,绿 , 其中棕包含所有其他三个集合 , 求除去其他三个集合后的棕集合
设 : 棕,红,黄,绿集合为
那么答案便是 :
- 颜色为红黄绿的部分就不说了 , 自然减去一次即可
- 颜色为蓝的部分在减去 的时候被减掉两次,所以加回一次
- 黑色的部分减 时减去三次,又在加 时加上三次,所以还得减去一次
在比赛中, 容斥原理用到的地方特别多, 比如, 和gcd有关的求方案数问题, 排列组合的问题, 序列问题 , 涂色问题
顺手摸出几道题的题解 :
涂色问题
n朵花一排, 有m种颜色, 涂色不能有相邻花同种颜色, 问恰好使用k种颜色的方案数
首先是选出k种颜色,
如果k种颜色直接去涂的结果为 , 但是这样只保证相邻花色不同, 却不能保证恰好使用k种颜色
分析一下怎么转换成刚好k种颜色 k种颜色直接涂包含了使用k种颜色的情况, 却多包含了使用不到k种的情况, 所以我们要把这些情况容斥掉 设直接涂x种的方案数为 那么是不是觉得和上面那三个圆一样 |