容斥、染色类计数问题

染色相关

染色问题是一类NPC问题。

它的一般形式是给定一个无向联通图 $G_{<n,m>}$ ，要求用 $k$ 种颜色对其染色。使得每一条边所连的两个端点不同色。

这一类问题通常需要很高的时间复杂度。但在特殊的图中，这一类问题能得到很优秀的解法。

例1 jzoj6079

Problem

给定无向联通图 $G_{<n,m>}$ ，要求 $k$ 染色的方案数

$n\le 10^5, m\le n+5, k\le 10^5$

Solution

很经典的一道题目。

首先注意到， $m\le n + 5$ 这个有用的性质。

再观察一下 $k$ 染色图的一些性质。

注意到，度数为 $1$ 的点是可以直接缩掉的。

然后转化一下，把一条边看做两个边权组成，一个边权表示两个点颜色相同时的方案，另一个则表示两个点颜色不同时的方案，显然一开始边权的组成是 $(0,1)$ 。

然后考虑缩一下度数为 $2$ 的点。

事实上是可以通过推式子得出的。然后会发现缩完之后最终图的大小是 $n\le 10,m\le15$ 的。

于是直接搜索就好了。

例2 jzoj

Problem

给定 $m$ 条原始边，并按照以下规则加边，得到的最终图求 $n$ 染色方案。

若 $a\lt b\lt c$ ，且 $(a,b),(a,c)$ 有边，则连 $(a,c)$

$n,m\le 1e6$

Solution

观察到这道题连边的特殊性质。

可以发现，如果按节点编号从大到小染色，假设一个点的度数为最终图里连向多少条比它编号大的点，那么答案很显然就是 $\prod_i n-度数_i$ 。

因为比它大的点颜色都互不相同！

现在关键就变成了求最终图里每个点的度数。

然后发现一个很重要的性质：

如果最终图里两个点 $x,y$ 有边，则必然可以在原图中找到一条路径，使得这个路径上点的编号都小于 $min(x,y)$ .

于是就可以从小到大去构图，每次维护好图的连通性，每次当前点所在联通块有多少个相邻点就是当前点的度数了。

这个可以用启发式合并或者线段树合并。事实上启发式合并由于有set，map这种高级骚操作，所以时间复杂度虽然是两个 $log$ 的，但依然跑的比线段树的一个 $log$ 快。

容斥相关

计数题一般有容斥，这是计数题的一大特点。

例3 jzoj3170

Problem

给定 $n$ 个箱子，每个箱子里有若干种玩具，玩具编号从 $1\sim m$ ，然后让你求有多少种选择箱子的方案，使得每种玩具都至少有一个。

$n\le 10^6, m\le 20$

Solution

首先，要求至少，那肯定一波容斥了。转化为求一个都没有的方案。

然后必然是要枚举哪些至少没有，第二次容斥。

那么问题现在就转化为了， $n$ 个箱子中选哪些箱子，不包括给定集合。

然后考虑它的对应问题， $n$ 个箱子中选哪些箱子，被给定集合包括，这里的包括显然指的是真子集。

然后这个有个经典做法是分治。考虑把 $m$ 位从高位到低位处理。然后考虑当前这一位的贡献，可以由 $f_i\rightarrow f_{i+mid}$ 。

我们来考虑这样做法的正确性。

由于最终计数的 $f_i$ 表示的是 $i$ 的所有子集中包含了多少个箱子，换句话说，这些箱子的并集 $\in i$ 。由于我们依次考虑了 $i$ 的某一位是否为 $1$ 时的贡献，且当某一位为 $0$ 时，我们不会累加为 $1$ 的答案。换句话说，只有当某一位为 $1$ 时，我们会累加 $0,1$ 的答案，所以可以累加出最终答案。

Code

#include <bits/stdc++.h>

#define F(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i ++)

const int T = 1e6 + 10, Mo = 1e9 + 7, S = 2e6;

using namespace std;

int n, m, tot, x, sum, N, ans;
int shl[T], f[S];

void CDQ(int l, int r) {
	if (l >= r) return;
	int m = l + r >> 1;
	CDQ(l, m), CDQ(m + 1, r);
	F(i, l, m)
		f[m + i - l + 1] += f[i];
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m), shl[0] = 1;
	F(i, 1, max(n, m)) shl[i] = (shl[i - 1] * 2LL) % Mo;

	N = shl[m] - 1;
	F(i, 1, n) {
		scanf("%d", &tot), sum = 0;
		F(j, 1, tot)
			scanf("%d", &x), sum += shl[x - 1];
		f[sum] ++;
	}

	CDQ(0, N);

	F(i, 0, N) {
		int tot = 0;
		for (int x = i; x; x -= x & (- x), tot ++);
		if (tot & 1) ans = (ans - (shl[f[N - i]] - 1)) % Mo; else ans = (ans + (shl[f[N - i]] - 1)) % Mo;
	}

	printf("%d\n", (ans + Mo) % Mo);
}

例4 jzoj5664

Problem

在这里插入图片描述

$Mx,My,Tx,Ty\le 800,K\le 50,R\le 1600$

Solution

还是很经典的一道题目。

首先必然要考虑容斥了，因为有些向量不能走。令 $s_k$ 表示走了至少 $k$ 次不合法向量的方案数，那么答案可以写成 $Ans=\sum_{i=0}^r(-1)^is_i$

考虑如何求 $S_i$ ，这个是很经典的。

容易想到令 $g_{i,x}$ 表示只走不合法向量，到达 $(10x,10x)$ 的方案数。

$f_{i,x,y}$ 表示 $i$ 步，任意向量，到达 $(x,y)$ 的方案数。

那么就有 $s(k)=\sum_{i=0}^{min(\frac{T_x}{10},\frac{T_y}{10})}\binom{r}{k}*g[k][i]*f[r-k][T_x-10i][T_y-10i]$

然后现在就把问题变为求 $f_{i,x,y}$ 了。

这里有一个很经典的套路就是降维。

考虑 $Fx_{i,j},Fy_{i,j}$ 分别表示走 $i$ 步，到 $x$ 轴的第 $j$ 个点， $y$ 轴的第 $j$ 个点的方案。

那么就有 $f_{i,x,y}=Fx_{i,x}*Fy_{i,y}$ 。这个是很容易证明的。

而求 $Fx,Fy$ 则可以很快求出。

所以时间复杂度很优秀。

注意边界。

Code

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

#define F(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i ++)
#define G(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); i --)
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define add(a, b) ((a) = (a + b) % Mo)

const int Mo = 1e4 + 7;
const int R = 1601, N = 801, T = 51;

using namespace std;

int Answer, Tx, Ty, Mx, My, r, m, Limit, c[R][R];
int g[R][N / 10], k[T], Fx[R][N], Fy[R][N], Sx[R][N], Sy[R][N];

int S(int k) {
	int ans = 0;
	F(i, 0, Limit)
		add(ans, 1ll * c[r][k] % Mo * g[k][i] * Fx[r - k][Tx - 10 * i] * Fy[r - k][Ty - 10 * i] % Mo);
	return ans;
}

int ksm(int x, int y) {
	int ans = 1;
	for (; y ; y >>= 1, x = (1ll * x * x) % Mo)
		if (y & 1)
			ans = (1ll * ans * x) % Mo;
	return ans;
}

int main() {
	freopen("jump.in", "r", stdin);
	freopen("jump.out", "w", stdout);

	scanf("%d%d%d%d%d%d", &Tx, &Ty, &Mx, &My, &r, &m);
	F(i, 1, m) scanf("%d", &k[i]), k[i] /= 10;

	Limit = min(Tx / 10, Ty / 10), g[0][0] = 1;
	F(i, 0, r - 1)
		F(j, 0, Limit)
			if (g[i][j])
				F(p, 0, m)
					if (j + k[p] <= Limit)
						add(g[i + 1][j + k[p]], g[i][j]);

	Fx[0][0] = 1;
	F(j, 0, Tx) Sx[0][j] = 1;
	F(i, 1, r) F(j, 0, Tx) {
		if (j - Mx <= 0)
			Fx[i][j] = Sx[i - 1][j];
		else
			Fx[i][j] = Sx[i - 1][j] - Sx[i - 1][j - Mx - 1];
		if (j) Sx[i][j] = Sx[i][j - 1];
		add(Sx[i][j], Fx[i][j]);
	}
	Fy[0][0] = 1;
	F(j, 0, Ty) Sy[0][j] = 1;
	F(i, 1, r) F(j, 0, Ty) {
		if (j - My <= 0)
			Fy[i][j] = Sy[i - 1][j];
		else
			Fy[i][j] = Sy[i - 1][j] - Sy[i - 1][j - My - 1];
		if (j) Sy[i][j] = Sy[i][j - 1];
		add(Sy[i][j], Fy[i][j]);
	}

	F(i, 0, r) c[i][0] = 1;
	F(i, 1, r)
		F(j, 1, r)
			c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % Mo;

	F(i, 0, r)
		add(Answer, ((i & 1) ? ( - 1) : ( 1 )) * S(i));

	printf("%d\n", (Answer + Mo) %Mo);
}