[算法/模板]质因数分解

[算法/模板]质因数分解

一、质因数分解的基本定理

\(\forall N \in (1,\infty)\)都能唯一分解成有限个质数的乘积，可写作：
\[N=P_1^{c_1}P_2^{c_2}...P_m^{c_m}\]
其中\(c_i\)为正整数，\(P_i\)都是质数，且满足\(P_1\lt P_2\lt ...\lt P_m\)。

我们可以扫描2~\(\sqrt N\)的每个数k，若k能整除N，那么我们从N中除掉所有的因子k，同时累计被除去的k的个数。
因为一个合数的因子一定在扫描到这个合数之前就从N中被除去了，因此扫描到能整除N的数一定是质数。
需要注意的是，若最终N没有被[2,\(\sqrt N\)]的数整除，则N为质数，直接累计就可以了。
综上，质因数分解的时间复杂度为\(O(\sqrt N)\)。

二、模板-质因数分解

代码如下：

inline void Divide(){
    cnt=0;
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){
        if(n%i==0){
            p[++cnt]=i;
            while(n%i==0){
                num[cnt]++;
                n/=i;
            }
        }
        if(n>1){
            p[++cnt]=n;num[cnt]=1;
        }
    }
}//其中p为底数，num为对应的指数