阶乘质因数分解

# 题意

给定整数N，将阶乘N!分解质因数，按照算数基本定理的形式输出分解结果中的p_i和c_i即可，即幂指形式

N ∈ [1,1e6]

# 题解

将1～N中的数都分解质因数，再把结果合并，时间复杂度是O(N√N)

1～N中每个数的质因子都不会超过N，可以预处理1～N中的质数，

转化为判断N！中包含多少。N！中质因子的个数等于1～N每个数包含质因子p的个数之和

在1～N中，p的倍数，即至少包含1个质因子p的个数是N/p下取整，至少包含两个的为

N/p²下取整，其中指数在N/p²中已经被计算过一次，所以只需要算一次

以此类推直到 N/p^log_pN，其中的log也是下取整，对于每个质数p

花费O（log N）的时间计算，所以总共的时间复杂度是O（NlogN）

其中log 的底数分别为质数，大于等于2所以实际小于O（NlogN）

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define ll long long
 3 using namespace std;
 4 const int N=1e6+10;
 5 int p[N],cnt;
 6 bool st[N];
 7 int n;
 8 void get_primes(int n){
 9     for(int i=2;i<=n;i++){
10         if(!st[i]) p[cnt++]=i;
11         for(int j=0;p[j]<=n/i;j++){
12             st[p[j]*i]=true;
13             if(i%p[j]==0) break;
14         }
15     }
16 }
17 int main(){
18     scanf("%lld",&n);
19     get_primes(n);
20     for(int i=0;i<cnt;i++){
21         int sum=0;
22         int a=p[i];
23         for(int j=n;j;j/=a){
24             sum+=j/a;
25         }
26         cout<<a<<' '<<sum<<endl;
27     }
28 }